sborník

Vladimír Tichý
Případy 2 až 4 shrňme pod společné pojmenování obecná 2-násobná
inverze. Těmto nedegenerovaným případům je totiž společné, že orbit bodu
[x, y] se pohybuje po kružnici (nazvěme ji orbitovou kružnicí)
se středem a poloměrem
2
⎡ dQ
− Ex
+ d ⎤ E Q − 2Edx
Q + 1 + d
⎢ ,
⎥
⎣2d 2dy
⎦
2d
⋅ y
což zvlášť pěkně vynikne v případu 4:
E ( ) 2
( 2
Q + 1+
2R )
Kružnice: k 1 : x 2 + y 2 = 1
k 2 : (x – 3) 2 + y 2 = 2.5 2
Iterace bodu [2.4797; 4.45264] leží na kružnici
se středem [0.625; 2.681] a poloměrem 2.565 .
Prvních 300 bodů orbitu je pospojováno.
Orbity divergují.
Spočteno 200 iterací.
Vzdálenost 3. iterace od
počátečního bodu.
Regiony, kde se ocitla
5. iterace.
3-násobná inverze
K předchozím dvěma kružnicím přidáme k 3 . Rovnice pro inverzi K 3 je
2
2
⎡ s ⋅
[ ]
( x − m)
s ⋅( y − n)
( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎤
K
3
x , y = ⎢m
+
, n +
2
2
2
2
⎣ x − m + y − n x − m + y − n ⎦
Označíme-li E = d 2 –r 2 +1, Q = x 2 +y 2 , S = d 2 Q + 1 – 2 xd, T = r 2 (x – d Q),
pak složením K 3 (K 2 (K 1 [x,y])) všech tří inverzí dostaneme
⎡
2
2 2
s S ⋅
[ ]
( dS
+ T − mS)
s S ⋅ ( r y − nS)
( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎤
K x,
y = ⎢m
+
, n +
2 2
2
2 2
2
⎢⎣
dS
+ T − mS
+ r y − nS
dS
+ T − mS
+ r y − nS
⎦
Máme tři vnitřky kružnic k 1 , k 2 a k 3 . Pokud jsou pro tyto tři vnitřky
realizovány všechny možné průniky (8 disjunktních oblastí), pak orbit
libovolného bodu A (kromě pevných bodů) diverguje, přičemž jednotlivé
iterace se pohybují střídavě po dvou orbitových kružnicích. Liché iterace na
jedné, sudé iterace na druhé. Pokud některá z průnikových oblastí
neexistuje, konvergují orbity k atraktornímu pevnému bodu.
252