sborník

VÍCENÁSOBNÁ KRUHOVÁ INVERZE
Vzdálenost k-té iterace od počátečního bodu, nebo vzdálenost
posledních dvou iterací K k–1 (A) a K k (A), případně vzdálenost k-té iterace od
čehokoliv jiného. Do jednoho bazénu pak zařadíme body, pro něž je měřená
vzdálenost v určitém intervalu.
Region, kde skončí k-tá iterace bodu. Například uvnitř/vně kružnice k i ,
ve kterém kvadrantu, případně kombinace těchto případů. V příkladech se
rozlišuje do jakého kvadrantu se k-tá iterace dostala, a zda padla do vnitřku
či vnějšku kružnice k 1 (tedy 8 barev), přičemž je-li ještě ve vnitřku kružnice
k 2 jsou barvy zesvětleny, a je-li ve vnitřku kružnice k 3 tak ztmaveny.
Přes svoji zdánlivou různorodost jsou všechny předchozí návrhy
postaveny na základním znaku chaosu, totiž na rozbíhavosti trajektorií.
K tomu lze ještě přidat bližší zkoumání orbitů a výpočet Ljapunovových
exponentů.
2-násobná inverze
Mějme dány kružnice k 1 a k 2 . Označme
E = d 2 – r 2 + 1 Q = x 2 + y 2 R = x 2 – y 2
Rovnice kruhových inverzí jsou
2
2
⎡ x y ⎤
⎡ r ⋅
[ ]
( x − d ) r ⋅ y ⎤
K 1
x , y = ⎢ , ⎥ K 2
= ⎢d
+
,
2 2
2 2 ⎥
⎣Q
Q ⎦ ⎣ ( x − d ) + y ( x − d ) + y ⎦
a jejich složení
2
2
⎡ r ⋅
[ ] ( [ ])
( x − dQ)
r ⋅ y ⎤
K x,
y = K
2
K1
x,
y = ⎢d
+
,
2
2 ⎥
⎣ d Q + 1−
2xd
d Q + 1−
2xd
⎦
Mohou nastat tři případy:
1) Kružnice jsou soustředné. Pro r < 1 jde o zmenšení, pro r = 1
o identitu, pro r > 1 o zvětšení. Z našeho hlediska nezajímavé.
2) Kružnice nemají společný reálný průsečík a nejsou soustředné, jedna
leží uvnitř druhé nebo jsou vně sebe. Transformace má dva pevné body
⎡
2 2
E ± E − 4d ⎤
⎢
, 0⎥
.
⎢⎣
2d
⎥⎦
Jeden z nich je repelentní, druhý atraktorní. Všechny orbity konvergují
k atraktornímu pevnému bodu.
3) Kružnice mají společný dotykový bod. Jde v podstatě o případ 2, ale
oba pevné body splynou do jednoho.
4) Kružnice mají právě dva různé reálné průsečíky. Transformace má
⎡
dva pevné body E
⎢ , ±
⎢2d
⎣
⎛
1−
⎜
⎝
E
2d
2
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥ (průsečíky obou kružnic).
⎥
⎦
251