sborník

Vladimír Tichý
Definice a označení
Pokud kruhové inverze použijeme sériově, je obrazem roviny opět celá
rovina, neboť kruhové inverze jsou bijektivní. Nemůžeme tedy fraktály
generovat jako v multi-transformaci ze zvoleného (jednoho či několika)
bodů, ale musíme se zaměřit na jiné aspekty. Z toho důvodu jsem pro
sériové složení transfromací použil pro potřeby tohoto článku název
násobná inverze (fold-inversion), případně konkrétněji n-násobná inverze.
Máme dánu řadu kružnic k 1 , k 2 , …, k n , a jim odpovídající transformace
kruhové inverze K 1 , K 2 , …, K n . Bez újmy na obecnosti můžeme zvolit
kružnici k 1 jako jednotkovou a střed kružnice k 2 na souřadné ose X.
Postupně tedy mějme:
k 1 : x 2 + y 2 = 1
k 2 : (x – d) 2 + y 2 = r 2
k 3 : (x – m) 2 + (y – n) 2 = s 2
k 4 a další jsou v obecné poloze jako k 3 .
n-násobnou inverzí K budeme rozumět složené zobrazení K = K n t…tK 1 ,
takže obrazem bodu A je bod K(A) = K n ( … K 2 ( K 1 (A) )…).
Platí rekurentní definice K m (A) = K( K m–1 (A) ). Definitoricky K 0 (A) =
A. Bod K m (A) nazveme m-tou iterací bodu A.
Orbitem bodu A se rozumí (nekonečná) posloupnost bodů K m (A) pro m =
0, 1, 2, … .
Bazén je množina bodů, které se chovají stejným způsobem vzhledem
k nějaké sledované vlastnosti. Ve všech příkladech uvedených dále jsou
různé bazény rozlišeny různými barvami.
Kde hledat fraktály
Nejperspektivnéjší cestou je sledování bazénů a hlavně jejich hranic. Dále
jsou uvedeny možné sledovatelné vlastnosti.
Konvergence. Body konvergující k témuž bodu náleží do téhož bazénu
konvergence. Orbit může také konvergovat k bodu {∞}, nebo divergovat.
V příkladech se rozlišují případy, kterým směrem je poslední iterace
vzdálena od předposlední, zda kladným či záporným ve směru obou
souřadných os (4 různé směry).
Periodicita. Zkoumá se, kolikátá iterace se přiblíží k původnímu bodu,
což lze považovat za přibližnou periodicitu (tedy vlastně za přibližný
numerický výpočet periodických bodů). Musí být zadána přesnost, se kterou
budeme dva body považovat za totožné. Body se stejnou nalezenou
periodicitou zařadíme do téhož bazénu.
Preperiodicita. Analogicky k periodicitě, jen náročnější výpočet.
250