sborník

SPECIÁLNÍ PŘÍPADY NURBS REPREZENTACE
Věta 1: Nechť jsou váhy w i , i = 0, …, n ve všech řídicích bodech rovny
nezáporné konstantě různé od nuly. Potom B-spline křivka C(u) a ≤ u ≤ b
stupně p má parametrické vyjádření:
( u) ∑ N i ( u)
C , (4)
= n
i=
0
, p Pi
kde N i,p (u) jsou B-spline bázové funkce dle (1).
Věta 2: Nechť jsou dány řídicí body P 0 , P 1 , P 2 , P 3 ; váhy w i , i = 0, 1, 2, 3
rovny nezáporné konstantě různé od nuly; uniformní uzlový vektor U = {-3,
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} a stupeň p = 3. Potom výsledná otevřená NURBS křivka
v intervalu 0 ≤ u ≤ 1 vypočtená dle (2) je Coonsova kubika:
( u) ∑C i ( u)
C P . (5)
= 3 i=
0
i
kde C i (u) jsou známé Coonsovy polynomy.
Poznámka: Konkrétní hodnoty uzlů jsou zvoleny s ohledem na
Coonsovu, Bézierovu a Fergusonovu kubiku tak, aby definičním oborem
výsledné otevřené NURBS křivky, a tím i zmíněných kubik, byl interval
u ∈ [ 0, 1].
Věta 3: Jsou-li splněny předpoklady Věty 2, je výsledná NURBS křivka
v intervalu 0 ≤ u ≤ 1 vypočtená dle (2) Bézierova kubika:
( u) ∑ B i ( u)
C V , (6)
= 3 i=
0
, n
i
kde B i,n (u) jsou Bernsteinovy polynomy třetího stupně a V i jsou vrcholy
řídicího polygonu Bézierovy kubiky. Vztah mezi {P i } a {V i } je následující:
1 1
1
V0
= P2
+ [ ( P0
+ P2
) − P1
];
V1
= P1
+ ( P2
− P1
);
3 2
3
(7)
2
1 1
V2
= P1
+ ( P2
− P1
);
V3
= P2
+ [ ( P1
+ P3
) − P2
].
3
3 2
Věta 4: Jsou-li splněny předpoklady Věty 2, je výsledná NURBS křivka
v intervalu 0 ≤ u ≤ 1 vypočtená dle (2) Fergusonova kubika:
C = V F u + V F u + V′
F u + ′ F u , (8)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
u 0 0 3 1 0 2 V3
3
kde F i (u) jsou Fergusonovy polynomy a V 0 , resp. V 3 je počáteční, resp.
koncový bod Fergusonovy kubiky; V' 0 , resp. V' 3 je tečný vektor
v počátečním, resp. v koncovém bodě Fergusonovy kubiky:
( V − V );
V′
= ( V − )
V0′ = 3 1 0 3 3 3 V2
. (9)
Vrcholy V 0 , V 1 , V 2 , V 3 jsou dány vztahem (7).
4 Příklad
Uvažujme čtyři řídicí body P 0 = [-3,0], P 1 = [-3,6], P 2 = [3,6], P 3 = [3,0],
U = {u 0 , u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 , u 6 , u 7 } = {-3, -2,-1, 0, 1, 2, 3, 4}, p = 3 a
151