sborník

KRITÉRIA TĚTIVOVÉHO ČTYŘÚHELNÍKU
Z těchto vzorců plynou také výrazy pro součin a podíl úhlopříček:
ef = ac + bd
(Ptolemaiova věta)
a
e ad + bc
= . (6)
f ab + cd
Je zajímavé, že v témže roce jako Sadov, jen o něco dříve, uvedli Rashid
a Ajibade obě kritéria v článku [4] s důkazy, které využívaly jen
středoškolskou matematiku. Následující důkaz je snad ještě jednodušší:
Důkaz věty 3: Nechť je čtyřúhelník ABCD vepsán do kružnice poloměru r.
Pak jeho obsah můžeme vyjádřit jako součet obsahů trojúhelníků ABD
a BCD nebo jako součet obsahů trojúhelníků ABC a ACD. Z rovnosti
adf bcf abe cde
+ = +
4r
4r
4r
4r
obou součtů plyne vztah (6).
Předpokládejme dále, že platí (6), a zvolme libovolně, ale pevně délky a,
b, c, d stran konvexního čtyřúhelníku ABCD, velikost β považujme za
nezávisle proměnnou. Pak je pravá strana vztahu (6) konstantní a podíl e f
představuje spojitou funkci proměnné β na intervalu ( β
1,
β
2
).
Z kosinových vět pro trojúhelník ABC a ACD plyne, že s rostoucím β roste
e a tedy i δ . Přitom zřejmě
α, γ a f klesají. Je tedy e f rostoucí a spojitá
funkce. Nejvýše pro jednu hodnotu β může platit (6). Stačí ukázat, že vždy
existuje takové β t
∈ ( β 1
, β
2
),
pro něž je čtyřúhelník ABCD tětivový.
Snadno lze ověřit, že pro β = β1
se čtyřúhelník zvrhne buď v trojúhelník
ABD nebo v trojúhelník BCD nebo v úsečku BD s vnitřními body A a C.
V každém z těchto limitních případů však bude α + γ > π a β + δ < π .
Analogicky pro β = β
2
je α + γ < π a β + δ > π . Existuje tedy β
t
na
intervalu ( β
1,
β
2
), pro něž platí α + γ = β
t
+ δ a čtyřúhelník ABCD je
tětivový.
147