sborník

Pavel Leischner
Věta 2 (Ptolemaiova nerovnost)
Pro každé čtyři body A, B, C, D dané roviny platí:
AB ⋅ CD + BC ⋅ AD ≥ AC ⋅ BD ,
(4)
přičemž rovnost nastane právě tehdy, když body leží na přímce nebo
kružnici tak, že body A, C oddělují body B, D.
3 Sadovovo kritérium
V roce 2003 publikoval S. Sadov [5], [8], [9] následující, údajně nové
kritérium:
Věta 3 (Sadovovo kritérium)
Konvexní čtyřúhelník ABCD je tětivový právě tehdy, když při označení
podle obr. 1 platí:
abe + ecd = bcf + fda .
(5)
Před vlastním důkazem věty poznamenejme, že Sadov nezvolil šťastnou
cestu při důkazu, že je (5) postačující. Jeho práce má rozsah 28 stran a
v úvodu se píše: „Tato podmínka nebyla navzdory své jednoduchosti dosud
uveřejněna a jeví se neočekávaně těžko dokazatelná. Jako pomocných
metod jsme použili počítačovou algebru a nelineární analýzu.“
K tomu je záhodno uvést, že vztah (5) je znám již dlouho jako metrický
vztah pro tětivový konvexní čtyřúhelník. Uvádí jej například Hadamard
v proslulé Elementární geometrii, jejíž první vydání vyšlo koncem
devatenáctého století. Před druhou světovou válkou se vztah (6) dokonce
vyučoval na našich středních školách. Na tomto místě snad nelze vynechat
odstavec z Vojtěchovy učebnice [7]:
„Také úhlopříčky čtyřúhelníka tětivového vyjádříme výhradně stranami:
z rovnic
2 2 2
2 2 2
e = a + b − 2ab
cos β,
e = c + d + 2cd
cos β
vyloučíme cos β (první vynásobíme cd, druhou ab, a sečteme); dostaneme
A obdobným postupem
f
=
e =
( ac + bd)(
ad + bc)
.
ab + cd
( ac + bd)(
ab + cd)
.
ad + bc
146