sborník

KRITÉRIA TĚTIVOVÉHO ČTYŘÚHELNÍKU
a ⋅
( x
2
− x )
1
2
+ ( y
2
− y )
1
2
=
( x
2
1
+ y
2
1
2 2
( x − a)
+ y )
)
2
2
−
−
( x
2
2
2 2
+ y )
( x − a)
+ y ).
2
2
1
1
Po umocnění a úpravě dostaneme:
( x
2
1
= ( x
2
1
+ y )( x
2
1
2
1
2
2
+ y )( x
2
2
+ y
2
2
+ y
2
2
2 2
2 2
( x1
− a)
+ y1
)((
x2
− a)
+ y2
) =
2 2
2 2 2
− a( x ( x + y ) + x ( x + y )) + a ( x x + y y ).
)
)
2
1
Po dalším umocnění a úpravě můžeme vztah přepsat do tvaru rovnice
2
2
a ( P + Qa + Ra ) = 0,
(3)
v níž
P =
Q =
2 2
2 2 2
( y1(
x2
+ y
2
) − y2
( x1
+ y1
))
,
2 2
2 2
2 ( y ( x + y ) − y ( x + y ))
1
1
R = ( x y
2
2
2
1
2
1
2
− x y ) .
2
1
1
2
1
2
( x y
1
2
1
2
2
− x y ),
Když si uvědomíme, že čísla a , y , y 1 2
jsou různá od nuly a výraz
v závorce rovnice (3) představuje úplný čtverec, můžeme rovnici upravit na
tvar:
2 2
2 2
x1
+ y1
− ax1
x2
+ y
2
− ax2
=
.
y
2y
2
1
2
Platí tedy i vztah
2 2
2 2
⎛ a x
⎞ ⎛ + − ⎞
⎜
1
+ y1
− ax1
a x
⎟ = ⎜
2
y2
ax2
⎟
,
,
,
⎝ 2 2y1
⎠ ⎝ 2 2y
2 ⎠
který představuje shodnost středů kružnic opsaných trojúhelníkům ABC
a ABD. Čtyřúhelník ABCD je tedy tětivový a tím je věta 1 dokázána.
Poznámka: První část důkazu je méně uváděnou modifikací
Ptolemeiova důkazu, při níž se místo podobnosti trojúhelníků využívají
obsahy. Druhá část byla převzata z článku [3]. Náročnější postup nás
odměnil symetrií algebraických výrazů a pěkným výsledkem. Na větu 1
můžeme pohlížet jako na důsledek známé nerovnosti, kterou Ptolemaios
zřejmě neznal:
1
1
2
145