sborník

Pavel Leischner
Věta 1 (ptolemaiovské kritérium)
Konvexní čtyřúhelník ABCD je tětivový právě tehdy, když při označení
podle obr. 1 platí:
ac + bd = ef .
(1)
A
α
d
e
D
δ
f
a
c
C
γ
b
β
A
d
D
f
e
a
E
c
C
b
B
b
a
B
Obr. 1: Tětivový čtyřúhelník Obr. 2 : K důkazu věty 1
Důkaz: Předpokládejme nejprve, že je čtyřúhelník ABCD tětivový, označme
E průsečík jeho úhlopříček, B′ bod symetrický s bodem B podle osy úsečky
AC (obr.2) a položme ϕ = ∠AEB . Trojúhelníky ACB a CA B′jsou shodné
a platí:
∠ B′
AD = ∠B′
AC + ∠CAD
= ∠ACB
+ ∠CBD .
Odtud a z trojúhelníku BCE, resp. ze čtyřúhelníku A B′ CD plyne:
ϕ = ∠AEB = ∠ECB
+ ∠CBE
= ∠B′
AD .
(2)
Tětivový čtyřúhelník A B′
CD má stejný obsah jako ABCD a vzhledem
ke (2) platí: sin ∠B ′ AD = sin ∠B′
CD = sin ϕ.
Dvojím vyjádřením
tohoto obsahu máme
1
1
S = S
A B′ D
+ S
B′
CD
= ( bd + ac) sin ϕ = S
ABCD
= ef sin ϕ a odtud i vztah
2
2
(1).
K důkazu obráceného směru zvolme kartézskou soustavu souřadnic tak,
aby A = (0, 0) a B = (a, 0). Souřadnice zbývajících bodů označme takto:
C = x , y ), D = ( x , ). Podmínku (1) přepíšeme do tvaru
(
1 1
2
y
2
B'
144