sbornÃk
sbornÃk sbornÃk
Miroslav Lávička 5 Conclusion In this short contribution some applications of the projective model of Möbius geometry were discussed. The main idea is to transfer given problem into 4-dimensional space of pentaspherical coordinates and there to manipulate it. Future work will be oriented on the application of rational extended stereographic projection and its inverse (both are rational mappings) on construction of rational parametrizations of special canal surfaces, eventually on construction of rational blending surfaces. Acknowledgements The author of this article has been supported by the Research Plan MSM 4977751301. References [1] Paluszny, M., Boehm, W.: General cyclides. Computer Aided Geometric Design 15 (1998), 699-710. [2] Mendez, E., Müller, A., Paluszny, M.: Tubelike joints: A classical geometry perspective. Applied Numerical Mathematics 40 (2002), 33-38. [3] Benz, W.: Möbius sphere geometry in inner product spaces. Aequationes Mathematicae 66 (2003), 284-320. [4] Pottmann, H., Leopoldseder, S.: Geometries for CAGD. In: Farin, G., Hoschek, J., Kim, M.S., eds.: Handbook of Computer Aided Geometric Design, Elsevier 2002. [5] Mendez, E., Müller, A., Paluszny, M.: Three views of Dupin cyclides and blending of cones. Applied Numerical Mathematics 40 (2002), 39-47. [6] Langevin, R.: Sets of spheres and applications. Sao Paulo 2004. [7] Cecil, T.E.: Lie Sphere Geometry: With Applications to Submanifolds. Springer, Berlin 1992. [8] Lávička, M.: Surfaces od Special Classes throuh Laguerre Geometry. In: Proceedings of ‘Geometry and Computer Graphics 2004’, Praděd–Jeseníky (2004), 130-134. 142
25. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE Pavel Leischner KRITÉRIA TĚTIVOVÉHO ČTYŘÚHELNÍKU Abstrakt Konvexní čtyřúhelník ABCD je tětivový, právě tehdy, když platí |AB|.|CD| + |BC|.|AD| = |AC|.|BD| (ptolemaiovské kritérium). Jiná, s touto větou ekvivalentní podmínka pro tětivový čtyřúhelník je: |AB|.|BC|.|CA| + |AC|.|CD|.|DA| = |BC|.|CD|.|DB| + |AB|.|BD|.|DA|. Klíčová slova Elementární geometrie, kritéria, tětivový čtyřúhelnik. 1 Úvod Jako kritérium tětivového čtyřúhelníku se všeobecně označuje věta, jež je důsledkem vlastností obvodových úhlů: Konvexní čtyřúhelník je tětivový právě tehdy, když jsou si rovny součty velikostí jeho protilehlých vnitřních úhlů. Nutnou a postačující podmínku pro to, aby byl konvexní čtyřúhelník ABCD tětivový, můžeme také vyjádřit pomocí délek stran a úhlopříček čtyřúhelníku. Uvedeme dvě taková kritéria a jejich méně známé důkazy postavené jen na středoškolské matematice. Druhé z nich je podle některých pramenů, viz například [8] a [9], považováno za nové. Vztah z této věty byl však znám již v minulých stoletích. 2 Ptolemaiovské kritérium Koncem roku 150 n.l. sepsal Klaudius Ptolemaios slavné dílo Almagest, v němž shrnul veškeré tehdy známé astronomické poznatky. Uvedl zde i podrobné tabulky, které přiřazovaly obloukům kružnice délky jejich tětiv, což lze dnes interpretovat jako tabulky funkce sinus. Základní hodnoty délek tětiv, které odpovídaly obvodovým úhlům velikostí 0 0 0 0 30 , 45 , 60 , 72 , … stanovil pomocí Pythagorovy věty z pravidelných vepsaných n-úhelníků. K výpočtu dalších hodnot užíval důsledky tvrzení známého dnes jako Ptolemaiova věta: V tětivovém konvexním čtyřúhelníku je součet součinů délek protilehlých stran roven součinu délek úhlopříček. Poměrně často uváděný Ptolemaiův důkaz této věty je možno obrátit (viz například [2]), a tak platí: 143
- Page 92 and 93: Oldřich Hykš The choice of the tr
- Page 94 and 95: Oldřich Hykš discussed together w
- Page 96 and 97: Petr Kahánek, Alexej Kolcun 2 Tria
- Page 98 and 99: Petr Kahánek, Alexej Kolcun of thi
- Page 100 and 101: Petr Kahánek, Alexej Kolcun Now we
- Page 102 and 103: Petr Kahánek, Alexej Kolcun In the
- Page 104 and 105: Mária Kmeťová Bernsteinove polyn
- Page 106 and 107: Mária Kmeťová H 0 O H 1 V 1 V 2
- Page 108 and 109: Mária Kmeťová Na obrázku 5 je k
- Page 110 and 111: Mária Kmeťová 6 Záver Program E
- Page 112 and 113: Milada Kočandrlová Pro body X eli
- Page 114 and 115: Milada Kočandrlová Podmínku cykl
- Page 116 and 117: Milada Kočandrlová 6 Homotetický
- Page 118 and 119: Jiří Kosinka medial axis transfor
- Page 120 and 121: Jiří Kosinka Figure 3: Asymptotic
- Page 122 and 123: Jiří Kosinka a) b) Figure 4: a) F
- Page 124 and 125: Iva Křivková • body (např. Bri
- Page 126 and 127: Iva Křivková V trojrozměrném eu
- Page 128 and 129: Iva Křivková asymptoty). V tomto
- Page 130 and 131: Karolína Kundrátová myslíme roz
- Page 132 and 133: Karolína Kundrátová Bázové fun
- Page 134 and 135: Karolína Kundrátová Obr. 2: Kři
- Page 136 and 137: Miroslav Lávička of this article
- Page 138 and 139: Miroslav Lávička if 〈x, x〉 M
- Page 140 and 141: Miroslav Lávička n: x - x = 0 0 4
- Page 144 and 145: Pavel Leischner Věta 1 (ptolemaiov
- Page 146 and 147: Pavel Leischner Věta 2 (Ptolemaiov
- Page 148 and 149: Pavel Leischner Literatura [1] Enge
- Page 150 and 151: Ivana Linkeová Je-li hodnota výra
- Page 152 and 153: Ivana Linkeová jednotkové váhy.
- Page 154 and 155: Ivana Linkeová funkce jsou pro u 0
- Page 156 and 157: Dalibor Martišek systémech, je po
- Page 158 and 159: Dalibor Martišek Zvládneme-li pra
- Page 160 and 161: Dalibor Martišek (což je jednoduc
- Page 162 and 163: Katarína Mészárosová vedcov nov
- Page 164 and 165: Katarína Mészárosová Obrázok 1
- Page 166 and 167: Katarína Mészárosová Analogicky
- Page 168 and 169: Katarína Mészárosová pocit krá
- Page 170 and 171: Martin Němec do databáze, popří
- Page 172 and 173: Martin Němec Obrázek 3: Modul pro
- Page 174 and 175: Martin Němec Literatura [1] J. Ziv
- Page 176 and 177: Stanislav Olivík 2 Hledání odraz
- Page 178 and 179: Stanislav Olivík S 1 Q i+2 P Q Q i
- Page 180 and 181: Stanislav Olivík Metoda popsaná v
- Page 182 and 183: Anna Porazilová Table 1 shows the
- Page 184 and 185: Anna Porazilová respective sum of
- Page 186 and 187: Anna Porazilová Figure 4a. Demonst
- Page 188 and 189: Anna Porazilová precisely (figure
- Page 190 and 191: LenkaPospíšilová výpočtupřija
25. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE<br />
Pavel Leischner<br />
KRITÉRIA TĚTIVOVÉHO ČTYŘÚHELNÍKU<br />
Abstrakt<br />
Konvexní čtyřúhelník ABCD je tětivový, právě tehdy, když platí<br />
|AB|.|CD| + |BC|.|AD| = |AC|.|BD| (ptolemaiovské kritérium). Jiná,<br />
s touto větou ekvivalentní podmínka pro tětivový čtyřúhelník je:<br />
|AB|.|BC|.|CA| + |AC|.|CD|.|DA| = |BC|.|CD|.|DB| + |AB|.|BD|.|DA|.<br />
Klíčová slova<br />
Elementární geometrie, kritéria, tětivový čtyřúhelnik.<br />
1 Úvod<br />
Jako kritérium tětivového čtyřúhelníku se všeobecně označuje věta, jež je<br />
důsledkem vlastností obvodových úhlů: Konvexní čtyřúhelník je tětivový<br />
právě tehdy, když jsou si rovny součty velikostí jeho protilehlých vnitřních<br />
úhlů. Nutnou a postačující podmínku pro to, aby byl konvexní čtyřúhelník<br />
ABCD tětivový, můžeme také vyjádřit pomocí délek stran a úhlopříček<br />
čtyřúhelníku. Uvedeme dvě taková kritéria a jejich méně známé důkazy<br />
postavené jen na středoškolské matematice. Druhé z nich je podle některých<br />
pramenů, viz například [8] a [9], považováno za nové. Vztah z této věty byl<br />
však znám již v minulých stoletích.<br />
2 Ptolemaiovské kritérium<br />
Koncem roku 150 n.l. sepsal Klaudius Ptolemaios slavné dílo Almagest,<br />
v němž shrnul veškeré tehdy známé astronomické poznatky. Uvedl zde<br />
i podrobné tabulky, které přiřazovaly obloukům kružnice délky jejich tětiv,<br />
což lze dnes interpretovat jako tabulky funkce sinus. Základní hodnoty<br />
délek tětiv, které odpovídaly obvodovým úhlům velikostí<br />
0 0 0 0<br />
30 , 45 , 60 , 72 , … stanovil pomocí Pythagorovy věty z pravidelných<br />
vepsaných n-úhelníků. K výpočtu dalších hodnot užíval důsledky tvrzení<br />
známého dnes jako Ptolemaiova věta: V tětivovém konvexním čtyřúhelníku<br />
je součet součinů délek protilehlých stran roven součinu délek úhlopříček.<br />
Poměrně často uváděný Ptolemaiův důkaz této věty je možno obrátit (viz<br />
například [2]), a tak platí:<br />
143
Change language