sborník

ELIPSOID HOMOTETICKÝ K REFERENČNÍMU ELIPSOIDU
Pro některé výpočty v algoritmu je vhodné parametrické vyjádření elipsy
(7). Budeme ji parametrizovat svazkem přímek o středu v bodě Y, tj.
Y = 0,
− 2a
a .
průsečík s osou y , bod [ ]
02
Druhým bodem těchto přímek bude jejich průsečík s osou x, označíme
ho Q = [ t,0]
. Potom parametrické vyjádření svazku přímek je
22
⎡ 2a
⎤
02
( Q −Y
) = αt,
( α − ) ⎥⎦
X . (8)
= Y + α ⎢
1
⎣ a22
Bod X z rovnice (8) dosadíme do rovnice (7) elipsy a vypočítáme
parametr α
=
4a
( a t + a )
02 12 02
α .
2
2
a11a22t
+ 4a02a12t
+ 4a02
Potom dosazením do (8) dostáváme hledanou parametrizaci elipsy
⎡
⎢
⎣a
4a
( a t + a )
t
− 2a
2
02 12 02
02 11
= ,
2
2
2
2
11a22t
+ 4a02a12t
+ 4a02
a11a22t
+ 4a02a12t
+ 4a02
X . (9)
Pro křivost k křivky, dané explicitní rovnicí y(x)
, platí známý vzorec
k
y ′′
= .
( 1+
y′
2 ) 3
y =
Obě derivace vypočítáme z implicitní rovnice (7) elipsy. Je
0 a x + a y′
+ a y + a xy′
+ a yy′
,
=
11 02 12 12 22
0
11 02
12 12
22
22
y
2
= a + a y ′′ + 2a
y′
+ a xy ′′ + a y′
+ a y ′
.
Odtud derivace v bodě P’ jsou
a
y = −
a
k y ′′
11
′ ′′ .
y = 0,
Potom hledaná křivost je
převrácená hodnota, tj.
02
r = .
Střed křivosti elipsy v bodě P’ je S = P' + r n .
a
a
02
a
t
⎤
⎥
⎦
= a odpovídající poloměr křivosti její
11
115