sborník

Mária Kmeťová
Bernsteinove polynómy n-tého stupňa, sa nazýva Bézierova krivka n-tého
stupňa. Body V i sa nazývajú riadiacimi bodmi Bézierovej krivky.
Vidíme, že táto definícia nám podstatu Bézierových kriviek na prvý
pohľad veľmi nepribližuje. Viac sa o nich dozvieme z algoritmu ich
konštrukcie, tzv. de Casteljauovho algoritmu.
De Casteljauov algoritmus: Nech sú dané riadiace body Bézierovej
r
krivky V 1 , V 2 ,..., V n a parameter t∈〈0,1〉. Skonštruujeme postupne body V ,
i
r=1,2, ...,n, i = 0,1,...,n-r, dané rekurzívnym predpisom
r
r 1 −
= 1−
− r
V t t V + tV ,
0
kde V = V
i
Body V n ( t)
i
pre i = 0,1,...,n.
i
( ) ( )
1
sú bodmi Bézierovej krivky n-tého stupňa daného
0
v predchádzajúcej definícii. (Dôkaz pozri napr. v [1].)
3 Vykreslenie Bézierovej krivky na základe de
Casteljauovho algoritmu
Ako z daného algoritmu vidíme, krivka je daná svojimi riadiacimi vrcholmi
a jej tvar závisí iba od umiestnenia týchto bodov. Výhodou programu
Euklides v tejto súvislosti je nezávislosť voľby základných prvkov od
súradnicovej sústavy a možnosť skoro neobmedzenej zmeny polohy týchto
prvkov. Znamená to, že po vytvorení jednej krivky napr. štvrtého stupňa,
zmenou polohy jej riadiacich vrcholov môžeme skúmať všetky možné
krivky štvrtého stupňa.
Vykreslenie krivky pomocou de Casteljauovho algoritmu
1. Voľba riadiacich vrcholov.
2. Určenie úsečky pre zmenu parametra t∈〈0,1〉 s pohyblivým
deliacim bodom.
3. Rozdelenie úsečiek V V v pomere danom deliacim bodom.
i i+ 1
i
i+
1
r r
Vi Vi
1
4. Opakovanie predchádzajúceho kroku pre úsečky , kým
+
nedostaneme výsledný bod de Casteljauovho algoritmu.
5. Vykreslenie dráhy bodu krivky pre všetky parametre t∈〈0,1〉.
Na obrázku 1 je Bézierova krivka 3. a 4. stupňa s rôzne umiestnenými
riadiacimi vrcholmi.
Programom Euklides môžeme ľahko ilustrovať aj vplyv viacnásobného
riadiaceho bodu na tvar krivky tak, že dva riadiace body posunieme do
jedného bodu. Na obrázku 2 môžeme porovnať Bézierovu krivku druhého
a tretieho stupňa, ktorej dva prostredné riadiace body sú totožné.
104