Lecture notes for Introduction to Representation Theory
Lecture notes for Introduction to Representation Theory
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4.15 The Frobenius character <strong>for</strong>mula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<br />
4.16 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63<br />
4.17 The hook length <strong>for</strong>mula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63<br />
4.18 Schur-Weyl duality <strong>for</strong> gl(V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
4.19 Schur-Weyl duality <strong>for</strong> GL(V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
4.20 Schur polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66<br />
4.21 The characters of L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66<br />
4.22 Polynomial representations of GL(V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
4.23 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68<br />
4.24 <strong>Representation</strong>s of GL 2 (F q ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68<br />
4.24.1 Conjugacy classes in GL 2 (F q ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68<br />
4.24.2 1-dimensional representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70<br />
4.24.3 Principal series representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
4.24.4 Complementary series representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73<br />
4.25 Artin’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75<br />
4.26 <strong>Representation</strong>s of semidirect products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76<br />
5 Quiver <strong>Representation</strong>s 78<br />
5.1 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78<br />
5.2 Indecomposable representations of the quivers A 1 , A 2 , A 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 81<br />
5.3 Indecomposable representations of the quiver D 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83<br />
5.4 Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87<br />
5.5 Gabriel’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89<br />
5.6 Reflection Func<strong>to</strong>rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90<br />
5.7 Coxeter elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93<br />
5.8 Proof of Gabriel’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94<br />
5.9 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96<br />
6 <strong>Introduction</strong> <strong>to</strong> categories 98<br />
6.1 The definition of a category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98<br />
6.2 Func<strong>to</strong>rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99<br />
6.3 Morphisms of func<strong>to</strong>rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100<br />
6.4 Equivalence of categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100<br />
6.5 Representable func<strong>to</strong>rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101<br />
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