elektronická verzia publikácie - FIIT STU - Slovenská technická ...

Sprístupňovanie informácií pomocou grafov 205
7.1.6 Incidenčná matica grafu a jej vlastnosti
Incidenčná matica M grafu G je definovaná ako
{
wij ak existuje hrana z vrcholu i do vrcholu j
M ij =
0 inak
(7.1)
kde w ij je váha hrany z vrcholu i do vrcholu j.
Matica M grafu G je stochastická, ak pre každý vrchol platí, že súčet váh hrán vystupujúcich
z vrcholu je 1.
∑
M ij =1;∀i (7.2)
j
Matica M grafu G je ireducibilná, ak existuje cesta z vrcholu i do vrchola j, pre každú
dvojicu vrcholov i, j. Takýto graf sa nazýva silne prepojený.
Matica M grafu G je aperiodická, ak všetky vrcholy grafu G sú aperiodické. Vrchol i je
aperiodický, ak najväčší spoločný delitel’ všetkých ciest vedúcich z vrcholu i naspät’ do vrcholu
i je 1.
7.2 Prehl’ad algoritmov ohodnocujúcich grafy
Táto kapitola sa zameriava na algoritmy ohodnocujúce grafy založené na iteračnom násobení
priamo incidenčných matíc alebo ich transformácií. Iteračný algoritmus násobenie matíc
využívaný vo väčšine popisovaných algoritmov je vel’mi podobný mocninovej metóde
hl’adania vlastného vektora matice známej z lineárnej algebry.
7.2.1 Mocninová metóda hl’adania vlastného vektora
Nech incidenčná matica A grafu G je ireducibilná, aperiodická a stochastická, potom vlastný
(stacionárny) vektor r ∞ matice A je možné vypočítat’ iteračnou mocninovou metódou definovanou
ako
r k = r k−1 A (7.3)
a platí, že
lim r k = r ∞ = r ∞ A (7.4)
k→∞
7.2.2 PageRank
Asi najpopulárnejším algoritmom na ohodnocovanie grafu je práve PageRank. Algoritmus
vychádza z rekurzívne definovaného predpokladu, že stránka je tým lepšia, čím lepšie stránky
na ňu odkazujú.
Výpočet PageRank ohodnotenia si je možné predstavit’ pomocou modelu náhodného surfera,
ktorý prehliada stránky a náhodne nasleduje odkazy na týchto stránkach. Ohodnotenie
jednotlivých stránok je potom ustálené rozdelenie počtu návštev na jednotlivých stránkach.
Problémovým miestom sú stránky, ktoré neobsahujú odkazy a cykly v odkazoch. Náhodný
surfer by v prvom prípade uviazol na jednom mieste avdruhom prípade dokonca mohol
naakumulovat’ nekonečne vel’ké ohodnotenie na stránkach v cykle. Tento problém je možné
odstránit’ zavedením malej pravdepodobnosti opustenia aktuálnej stránky a pokračovaniu
na úplne náhodne vybranej stránke [15].