複雜系統介紹 - 中研院物理研究所- Academia Sinica

Introduction to Complex Systems
複 雜 系 統 之 簡 介
梁 鈞 泰
中 央 研 究 院 物 理 所
Kwan-tai Leung
Institute of Physics, Academia Sinica,
Taipei, 115, Taiwan
http://www.sinica.edu.tw/~leungkt

Outline of talk
• What is complex system
• Brownian motion and random walk
• Fractal, power laws & self-similarity
• Self-organized criticality
• Earthquake and its modeling
• Some current research topics

What is a complex system ( 複 雜 系 統 )?
複 雜 系 統 是 一 個 由 多 個 簡 單 單 元 所 組 成 的 結 構 。 一
般 來 講 , 複 雜 系 統 最 有 趣 的 地 方 在 於 所 組 成 的 單 元
經 由 非 線 性 交 互 作 用 , 會 產 生 集 体 的 行 為 。 這 些 集
体 行 為 可 在 空 間 或 時 間 中 表 現 為 圖 形 化 、 新 層 次 之
結 構 。
這 類 系 統 往 往 受 外 界 影 響 , 而 在 熱 力 、 噪 音 的 作 用
下 運 作 。 要 瞭 解 這 些 系 統 的 行 為 , 我 們 需 要 運 用 熱
力 學 和 統 計 力 學 的 概 念 和 方 法 。

Brownian motion & random walk
布 朗 運 動 與 隨 機 行 走
Let us start with a simple system:
Robert Brown (1773–1858)
布 朗 先 生 在 顯 微 鏡
下 看 到 水 中 的 花 粉
不 斷 進 行 不 規 則 的
運 動
10 -6 公 尺
2 µm polysteryne spheres
in water
doing random walks

The random walker’s trajectory ( 軌 跡 )
It does look random

統 計
規 律
= 走 了 t 步 以 後 的 幅 度
x
2
≈ C t
C=diffusion constant
~ 10 -9 cm 2 /sec
for 2µm particle in water

Exercise: Can we talk about the speed of diffusion?
What is it?
Related: how long does it take for a fly to know you are
eating a cake? How about information propagation?

Power laws 指 數 定 律
When two physical variables are related, the simplest
relationship is a power law. E.g.
x
=
1
2
gt
2
∝
t
2
g
Free fall
x
=
vt
∝t
Constant speed
2
x ≈ C t
Random walk

Two ways to define D:
1. Mass ( 質 量 ) M~L D
Dimension D ( 維 度 )
M~L D=1
M~L 2 D=2 M~L3 D=3
2. Stick length ( 尺 度 ) l Coverage ( 覆 蓋 數 ) N ~ 1/l D 也 是 指 數 定 律
l=1, N=64 l=2, N=16=64/2 2 l=4, N=4=16/2 2

Fractal dimension 碎 形 維 度
碎 形 (fractal) 一 詞 是 由 B. Mandelbrot 提 出
( 書 名 The fractal geometry of Nature, 1983) 。
Stick length ( 尺 度 ) l
Coverage ( 覆 蓋 數 ) N ~ 1/l D
l=200 km l=100 km l=50 km
1 < D < 2
Most coastlines are fractal with dimension between 1 & 2

Sierpinski gasket
l is the stick length (radius for applying gaussian blur
to this picture in Photoshop)
l=1 l=1/2 l=1/4 l=1/8
N l
=3 N l
=9 N l
=27 N l
=81
For l=2 -n
N=3 n = 3 -log l/log 2 = 3 -log 3 l/log 3 2 = l
–log 3/log 2 D=log3/log2=1.585

Exercise: What is the average density of fractal?
What is the difference between that and the density
of the material? Can you use it to distinquish a fractal
from an ordinary object?

Koch curve ( 寇 赫 曲 線 )
Exercise: Can you show that the fractal
dimension of the Koch curve is log4/log3=1.26?

Fractal dimension of random walk
L
2
=
x
2
≈
C t
L
Let each step carry a unit mass m.
After t steps, total mass M is
M=m t ~ L 2
D=2 in any dimension

Self-similarity 自 我 相 似 性
cut
Blow up
Sierpinski gasket

cut and blow up
It looks random, but
it also looks “self similar”

A practical example of self-similarity

The motion of a random walker is described by
an equation known as Langevin equation ( 朗 氏 方 程 ):
dx
dt
= µ f + ξ
f
=
−
dU
dx
.
f 是 外 力 ,µ 是 mobility, 而 ξ 則 是 噪 音 項
假 如 流 體 中 有 不 只 一 顆 而 是 很 多 顆 粒 子 , 我 們 需 要 知 道 的 不
是 每 顆 粒 子 的 位 移 , 而 是 粒 子 的 密 度 場 ρ( x,
t)
。 密 度 場 遵
守 擴 散 方 程 式 :
∂ρ
= C
∂t
∂
∂
2
ρ
2
x
ρ
x

Phase transitions 相 變
Self-similarity and power laws
can be found in phase
transitions
Common material’s 3 phases
Magnetic material

Power laws in thermodynamic
quantites at phase transition
Magnetization 磁 化 率
Specific heat 比 熱

Lattice-gas model of phase transitions
~ many random walkers with weak attraction
T~0
T=T c T=1.05 T c T=2T c
Exercise: which pattern is more complex, contains more information?

Scale invariance or self-similarity at T c
After the operation, the left picture
Is reduced into this box

A self-similar trajectory lacks characteristic length and
time scale. If you do a Fourier analysis, there is no
characteristic frequency – the power spectrum ( 頻 譜 )
is also a power law:
1
P( f ) ≈ α=2
α
f

P( f ) ≈
1
f
α
White noise
α=0
1/f noise
α=1
α=2
Brownian noise

Outline of talk
• What is complex system
• Brownian motion and random walk
• Power laws & self-similarity
• Self-organized criticality
• Earthquake and its modeling
• Some current research topics

Self-Organized Criticality (SOC)
自 組 臨 界 性
對 於 任 一 時 間 序 列 , 我 們 總 可 以 計 算 它 對 應 的 功 率 譜 。 人 們
逐 漸 發 現 世 界 上 有 很 多 人 為 或 自 然 產 生 的 時 間 序 列 , 它 們 對
應 的 功 率 譜 都 沒 有 明 顯 的 特 徵 頻 率 , 而 且 經 常 具 有 這 特 性 的
現 象 有 很 多 , 包 括 河 流 的 水 位 、 恆 星 的 亮 度 、 地 震 的 訊 號 、
股 票 指 數 的 起 伏 、 甚 至 古 典 音 樂 的 音 量 等 。 如 何 去 合 理 解 釋
這 普 適 性 便 成 為 理 論 物 理 學 家 的 挑 戰 。
於 是 ,Per Bak 等 人 在 1987 年 提 出 即 使 在 缺 乏 明 顯 可 調 控 的 參
數 下 也 能 產 生 指 數 定 律 的 機 制 , 並 稱 之 為 「 自 組 臨 界 性 」
(self-organized criticality)。 他 們 更 同 時 提 出 一 個 圖 像 化 而 直
覺 的 「 沙 堆 模 型 」(sandpile model) 來 闡 釋 該 概 念 。

Sandpile as a paradigm of SOC
Bak & Chen, Sc. Am. 1991
• “Self-organized” means systems reaching critical states without tuning.
• “Critical”: at critical slope (“angle of repose”), no characteristic avalanche
size exists. It covers all possible values with power-law distribution P(s)~s -b .

Open-boundary conditions 開 放 的 邊 界 條 件
are important to ensure self-organized criticality
Number of jobs thrown out of window obeys P(n)~n -b

Outline of talk
• What is complex system
• Brownian motion and random walk
• Power laws & self-similarity
• Self-organized criticality
• Earthquake and its modeling
• Some current research topics

One major success of SOC is in earthquake modeling
(Note: not prediction)

Gutenberg-Richter law for earthquake magnitude
N(>m) per yr
Cumulative distribut’n
Data from sesmicity catalog 1973-1997
Slope 1.62
(compared to 1.8 of model)
Earthquake magnitude m

self-organized critical earthquake model
fault
Olami, Feder, and Christensen, Phys. Rev. Lett. 68, 1244 (1992)

Slip-size distribution in earthquake model
S
Latest results: Lise & Paczuski PRE 2001
One slip initiates an avalanche of ultimately S slips
P(S)~S -1.8
P(S)
S

Outline of talk
• What is complex system
• Brownian motion and random walk
• Power laws & self-similarity
• Self-organized criticality
• Earthquake and its modeling
• Some current research topics
- crack pattern formation
- water striders
-…..

The scales of cracks
monolayer of microspheres
dried lake
earthquake faults
100 km
50µm
1m
dried clay
20cm
100m
fissures in Black Rock
Desert, Nevada

monolayer of polystyrene spheres (µm size)
Early stage
0.5 mm
0.05 mm
Skjeltorp & Meakin

In presence of dissipation (e.g. friction), crack growth
is subcritical, and speed of crack tip

Approach: simplify the problem as much as possible—
one step from being trivial. Try to capture the essential
physics, then test the results against real, complex situations.

Simulating cracks: a spring-block model
{
i
x i
, y }
stick-slip
kH
force
F
i
> F slip
Fi
= 0
local
equilibrium
cracking
slippings
tension
τ >
F crack
crackings
…
τ = 0

Some typical evolution of cracks by simulations
Simulation using spring-block model
strain=0.5 κ=1 thickness H=2
Close-up of crack propagation and branching

Simulation using spring-block model
strain=0.3 κ=0.5 thickness H=3
Diffusive cracks
real cracks on desiccating
paint (Summer Palace, Beijing)

Simulation using spring-block model
strain=0.5 κ=0.5 thickness H=3
Connected (or percolating) cracks

Simulation using spring-block model
strain=0.1 κ=0.5 thickness H=9
Straight cracks, then diffusive

生 物 物 理 (Biology-Inspired Physics )
生 命 體 中 有 許 多 巨 份 子 不 斷 在 進 行 極 為 複 雜 的 物 理 、 生
化 相 互 作 用 。 因 此 , 從 物 理 學 的 觀 點 看 來 , 生 命 體 無 疑 是
最 難 被 理 解 的 物 理 系 統 。 在 探 索 生 物 的 過 程 中 會 產 生 大
量 數 據 , 物 理 學 家 希 望 能 從 中 尋 找 一 些 基 本 原 理 。
由 於 生 物 中 的 巨 份 子 一 直 處 於 一 個 熱 力 環 境 中 , 統 計 物
理 自 然 是 研 究 生 物 不 可 或 缺 的 工 具 。 在 這 個 基 礎 上 , 物
理 學 家 可 以 研 究 :
‧ 生 理 訊 號 ( 如 心 跳 ) 的 數 據 分 析 ,
‧ 生 物 巨 分 子 ( 如 DNA、RNA 和 蛋 白 質 ) 的 模 擬 ;
‧ 發 展 最 佳 化 的 數 值 方 法 在 蛋 白 質 結 構 的 預 測 ;
‧ 份 子 馬 達 的 物 理 機 制 ;
‧ 神 經 網 絡 的 同 步 發 火 現 象 的 實 驗 。

Conclusion
Two main Ideas we want to get across:
• We have shown that statistical physics methods are
useful in understanding complex phenomena by means
of simple models and rules.
• Interesting problems are around you, as long as you
keep an opened eye.