Zeit und Geschichte Time and History - Austrian Ludwig Wittgenstein ...

4. Konkrete Geometrie
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Konkrete Geometrie. Eine modale Raum-Zeit-Theorie vor einem ‚finitistischen‘ Hintergrund - Christian Damböck
Ein konkreter Raum sei definiert als eine Menge R, die,
gegeben eine fundamentale endliche Menge M von
Monaden, deren Potenzmenge R : = ℘(
M ) repräsentiert.
Monaden sind die kleinsten Einheiten, von denen in dem
konkreten Raum die Rede sein soll. Dies können, je nach
intendierter Anwendung, Quarks sein, Atome, Moleküle,
Häuser oder Galaxienhaufen.
Ein Zustand eines Universums soll in einer
konkreten Geometrie stets durch eine Teilmenge M der ∃
Monadenmenge charakterisiert sein und die entsprechende
Menge
∃ ( ∃)
℘ R = M . Mit < bezeichnen wir die als
Teilmengenrelation definierte Verbandsordnung über R
bzw. den einzelnen R . Diese Ordnung < spiegelt exakt
∃
die Ansprüche einer Mereologie wieder, da sie nicht nur
eine partielle Ordnung darstellt, sondern auch solche
Dinge wie mereologische Summe (=Supremum) und
Produkt (=Infimum), sowie Disjunktheit von Entitäten
eindeutig definiert sind.
Für die folgenden Überlegungen sei gegeben eine
zeitliche Struktur Z = ( ζ , < ) . Wir nennen zwei z,z’
benachbart und schreiben z p z'
, wenn folgendes gilt:
∀ z '': z < z''
< z'→
z''
= z ∨ z''
= z'
.
Als Graphen G (Z)
bezeichnen wir den gerichteten
Graphen über ζ , der genau dann einen Knoten ( z , z')
enthält, wenn z p z'
gilt.
Für die Konstruktion einer konkreten Geometrie ist
die Annahme grundlegend, dass die Elemente der
Monadenmenge M bestimmte substanzielle Grundmerkmale
besitzen. Dies hat zur Folge, dass, falls ein
Objekt substanzielle Merkmale dieser Art verliert, dieses
Objekt durch ein anderes Objekt, bestehend aus anderen
Monaden ersetzt werden muss. Beispielsweise könnte ein
Blatt Papier aus ‚Papier-Monaden’ bestehen. Verbrennen
wir das Blatt, so verliert es die Papier-Eigenschaft und die
Papier-Monaden müssten durch so etwas wie ‚Asche-
Monaden’ ersetzt werden. Auf die so entstehende
fundamentale Instabilität reagieren wir mit der folgenden
formalen Konstruktion:
Eine diskrete Raum-Zeit-Struktur RZ = ( ζ , < , M , ρ)
ist
definiert als zeitliche Struktur Z = ( ζ , < ) plus eine
Monadenmenge M, die als Sorte der Grundsprache FLATs
definiert ist, ebenso wie der darüber definierte konkrete
Raum R = ℘(M
) mit der mereologischen Relation < .
Für je zwei benachbarte z , z'∈ζ
mit z p z'
oder z' p z
definiert ρ eine bijektive Abbildung zwischen den durch z
und z’ definierten Mengen R∃(z ) und R∃(z ')
. Für das
derart jedem b ∈ R∃(z
) in R∃(z ')
zugeordnete Element
schreiben wir ρ ( b,
z,
z')
, bzw. ρ ( b,
z',
z)
.
Durch die Abbildung ρ erhält jedes Element irgendeines
R∃(z ) ein eindeutiges Gegenstück in jedem
anderen z '∈ζ
. Die Idee ist, dass Entitäten zwar ihre Erscheinungsform,
ihre substanziellen Merkmale verändern
können, aber stets gewissermaßen einen einheitlichen
‚substanziellen Kanal’, bzw. eine Art von ‚Weltlinie’
repräsentieren. Wir definieren:
Gegeben sei der Graph ( Z ) R G mit der Knotenmenge
V = R × ζ , der für je zwei benachbarte z,z’ und jedes
b ∈ R∃(z
) und das entsprechende b'= ρ(
b,
z,
z')
die
Kante {( b , z),
( b,
z')}
enthält. Wir definieren L ( RZ
) als
die Menge aller größtmöglichen zusammenhängenden
Teilgraphen von G ( RZ
) . Jedes l ∈ L nennen wir eine
diskrete Weltlinie in RZ.
Der Vorteil dieser formalen Konstruktion besteht
darin, dass man diskrete Weltlinien sofort als Terme in die
Grundsprache einführen kann, da es für jeden Zustand z
und jede Weltlinie l eine eindeutige Repräsentation dieses
l in z gibt (von dem ‚Randproblem’ jener Strukturen, die
nicht in ζ enthalten sind, sehen wir hier ab).
Folgendes sind plausible Konsistenz-Forderungen
an diskrete Raum-Zeit-Strukturen: eine diskrete Raum-
Zeit-Struktur heißt regulär, wenn folgendes gilt:
(i) Eindeutigkeit: Jedes b ∈ R ist in genau einem
l ∈ L in irgendeinem Knoten enthalten.
(ii) Ordnungserhaltung: Für alle benachbarten z,z’ und
alle , b'∈
R ( z)
gilt:
b ∃
b < b'→
ρ ( b,
z,
z')
< ρ(
b',
z,
z')
.
Gegeben die Definition der L-Relation ∝ als:
l ∝ l'
gdw ∃ z : z ∗l
< l'
( , ∝
bildet L ) , wie man leicht sieht, einen vollständigen
Verband.
Die skizzierte Konstruktion liefert ein Rahmenwerk
für eine diskrete Raum-Zeit-Theorie. Der Vorteil dieses
Ansatzes besteht darin, dass einzelne Objekte hier
konkrete Dinge sein können, wie Moleküle, Sessel,
Menschen oder Berge. (Solche Dinge müssen nicht
indirekt als Punktmengen o.dgl. eingeführt werden.)
Christian Damböck