Zeit und Geschichte Time and History - Austrian Ludwig Wittgenstein ...
Zeit und Geschichte Time and History - Austrian Ludwig Wittgenstein ...
Zeit und Geschichte Time and History - Austrian Ludwig Wittgenstein ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
4. Konkrete Geometrie<br />
48<br />
Konkrete Geometrie. Eine modale Raum-<strong>Zeit</strong>-Theorie vor einem ‚finitistischen‘ Hintergr<strong>und</strong> - Christian Damböck<br />
Ein konkreter Raum sei definiert als eine Menge R, die,<br />
gegeben eine f<strong>und</strong>amentale endliche Menge M von<br />
Monaden, deren Potenzmenge R : = ℘(<br />
M ) repräsentiert.<br />
Monaden sind die kleinsten Einheiten, von denen in dem<br />
konkreten Raum die Rede sein soll. Dies können, je nach<br />
intendierter Anwendung, Quarks sein, Atome, Moleküle,<br />
Häuser oder Galaxienhaufen.<br />
Ein Zust<strong>and</strong> eines Universums soll in einer<br />
konkreten Geometrie stets durch eine Teilmenge M der ∃<br />
Monadenmenge charakterisiert sein <strong>und</strong> die entsprechende<br />
Menge<br />
∃ ( ∃)<br />
℘ R = M . Mit < bezeichnen wir die als<br />
Teilmengenrelation definierte Verb<strong>and</strong>sordnung über R<br />
bzw. den einzelnen R . Diese Ordnung < spiegelt exakt<br />
∃<br />
die Ansprüche einer Mereologie wieder, da sie nicht nur<br />
eine partielle Ordnung darstellt, sondern auch solche<br />
Dinge wie mereologische Summe (=Supremum) <strong>und</strong><br />
Produkt (=Infimum), sowie Disjunktheit von Entitäten<br />
eindeutig definiert sind.<br />
Für die folgenden Überlegungen sei gegeben eine<br />
zeitliche Struktur Z = ( ζ , < ) . Wir nennen zwei z,z’<br />
benachbart <strong>und</strong> schreiben z p z'<br />
, wenn folgendes gilt:<br />
∀ z '': z < z''<br />
< z'→<br />
z''<br />
= z ∨ z''<br />
= z'<br />
.<br />
Als Graphen G (Z)<br />
bezeichnen wir den gerichteten<br />
Graphen über ζ , der genau dann einen Knoten ( z , z')<br />
enthält, wenn z p z'<br />
gilt.<br />
Für die Konstruktion einer konkreten Geometrie ist<br />
die Annahme gr<strong>und</strong>legend, dass die Elemente der<br />
Monadenmenge M bestimmte substanzielle Gr<strong>und</strong>merkmale<br />
besitzen. Dies hat zur Folge, dass, falls ein<br />
Objekt substanzielle Merkmale dieser Art verliert, dieses<br />
Objekt durch ein <strong>and</strong>eres Objekt, bestehend aus <strong>and</strong>eren<br />
Monaden ersetzt werden muss. Beispielsweise könnte ein<br />
Blatt Papier aus ‚Papier-Monaden’ bestehen. Verbrennen<br />
wir das Blatt, so verliert es die Papier-Eigenschaft <strong>und</strong> die<br />
Papier-Monaden müssten durch so etwas wie ‚Asche-<br />
Monaden’ ersetzt werden. Auf die so entstehende<br />
f<strong>und</strong>amentale Instabilität reagieren wir mit der folgenden<br />
formalen Konstruktion:<br />
Eine diskrete Raum-<strong>Zeit</strong>-Struktur RZ = ( ζ , < , M , ρ)<br />
ist<br />
definiert als zeitliche Struktur Z = ( ζ , < ) plus eine<br />
Monadenmenge M, die als Sorte der Gr<strong>und</strong>sprache FLATs<br />
definiert ist, ebenso wie der darüber definierte konkrete<br />
Raum R = ℘(M<br />
) mit der mereologischen Relation < .<br />
Für je zwei benachbarte z , z'∈ζ<br />
mit z p z'<br />
oder z' p z<br />
definiert ρ eine bijektive Abbildung zwischen den durch z<br />
<strong>und</strong> z’ definierten Mengen R∃(z ) <strong>und</strong> R∃(z ')<br />
. Für das<br />
derart jedem b ∈ R∃(z<br />
) in R∃(z ')<br />
zugeordnete Element<br />
schreiben wir ρ ( b,<br />
z,<br />
z')<br />
, bzw. ρ ( b,<br />
z',<br />
z)<br />
.<br />
Durch die Abbildung ρ erhält jedes Element irgendeines<br />
R∃(z ) ein eindeutiges Gegenstück in jedem<br />
<strong>and</strong>eren z '∈ζ<br />
. Die Idee ist, dass Entitäten zwar ihre Erscheinungsform,<br />
ihre substanziellen Merkmale verändern<br />
können, aber stets gewissermaßen einen einheitlichen<br />
‚substanziellen Kanal’, bzw. eine Art von ‚Weltlinie’<br />
repräsentieren. Wir definieren:<br />
Gegeben sei der Graph ( Z ) R G mit der Knotenmenge<br />
V = R × ζ , der für je zwei benachbarte z,z’ <strong>und</strong> jedes<br />
b ∈ R∃(z<br />
) <strong>und</strong> das entsprechende b'= ρ(<br />
b,<br />
z,<br />
z')<br />
die<br />
Kante {( b , z),<br />
( b,<br />
z')}<br />
enthält. Wir definieren L ( RZ<br />
) als<br />
die Menge aller größtmöglichen zusammenhängenden<br />
Teilgraphen von G ( RZ<br />
) . Jedes l ∈ L nennen wir eine<br />
diskrete Weltlinie in RZ.<br />
Der Vorteil dieser formalen Konstruktion besteht<br />
darin, dass man diskrete Weltlinien sofort als Terme in die<br />
Gr<strong>und</strong>sprache einführen kann, da es für jeden Zust<strong>and</strong> z<br />
<strong>und</strong> jede Weltlinie l eine eindeutige Repräsentation dieses<br />
l in z gibt (von dem ‚R<strong>and</strong>problem’ jener Strukturen, die<br />
nicht in ζ enthalten sind, sehen wir hier ab).<br />
Folgendes sind plausible Konsistenz-Forderungen<br />
an diskrete Raum-<strong>Zeit</strong>-Strukturen: eine diskrete Raum-<br />
<strong>Zeit</strong>-Struktur heißt regulär, wenn folgendes gilt:<br />
(i) Eindeutigkeit: Jedes b ∈ R ist in genau einem<br />
l ∈ L in irgendeinem Knoten enthalten.<br />
(ii) Ordnungserhaltung: Für alle benachbarten z,z’ <strong>und</strong><br />
alle , b'∈<br />
R ( z)<br />
gilt:<br />
b ∃<br />
b < b'→<br />
ρ ( b,<br />
z,<br />
z')<br />
< ρ(<br />
b',<br />
z,<br />
z')<br />
.<br />
Gegeben die Definition der L-Relation ∝ als:<br />
l ∝ l'<br />
gdw ∃ z : z ∗l<br />
< l'<br />
( , ∝<br />
bildet L ) , wie man leicht sieht, einen vollständigen<br />
Verb<strong>and</strong>.<br />
Die skizzierte Konstruktion liefert ein Rahmenwerk<br />
für eine diskrete Raum-<strong>Zeit</strong>-Theorie. Der Vorteil dieses<br />
Ansatzes besteht darin, dass einzelne Objekte hier<br />
konkrete Dinge sein können, wie Moleküle, Sessel,<br />
Menschen oder Berge. (Solche Dinge müssen nicht<br />
indirekt als Punktmengen o.dgl. eingeführt werden.)<br />
Christian Damböck