Zeit und Geschichte Time and History - Austrian Ludwig Wittgenstein ...

Konkrete Geometrie. Eine modale Raum-Zeit-Theorie vor einem
‚finitistischen‘ Hintergrund
Christian Damböck, Wien, Österreich
Im Umfeld formal-philosophischer Raum-Zeit-Theorien
werden zurzeit vor allem drei Ansätze diskutiert: (1)
Theorien die auf klassischen euklidischen und
nichteuklidischen Konstruktionen beruhen (Minkowski-
Geometrien, etc.); (2) Theorien, die auf topologischen und
mereologischen Konstruktionen beruhen (topologische
Räume, Mereologie, Mereotopologie); (3) diskrete
Theorien, die entweder schlicht auf einer Rasterung
kontinuierlicher Hintergrundräume basieren oder aber auf
dem Konzept der Adjazenz von Objekten (diskrete Räume
als Graphen, diskrete Geometrie und Topologie).
Als Alternative zu diesen Varianten soll hier ein
Ansatz präsentiert werden, der, so könnte man sagen,
anstelle von raumzeitlichen Objekten als Punkte oder
Punktmengen, raumzeitliche Objekte als konkrete
Massekörper ansetzt. Eine solche Konzeption soll
konkrete Geometrie genannt werden.
Im Folgenden wird zunächst (Abschnitte 1 und 2)
ein formales Rahmenwerk präsentiert, das im
angedeuteten Sinn ‚finitistisch’ funktioniert und mit
folgenden unten zu erläuternden Leistungsmerkmalen
ausgestattet ist:
• Mehrsortigkeit
• Mereologie
• Free logic
• Flache Semantik
In den Abschnitten 3 und 4 werden zeitliche und räumliche
Aspekte vor dem Hintergrund dieses Rahmenwerkes
diskutiert.
1. Die ‚finitistische’ Grundsprache FINs
Konkrete Geometrien legen den Ansatz einer
Rahmensprache nahe, die auf starrer Referenz (rigid
designation) beruht, in der Annahme, dass jeder Name
einer Sprache ein konkretes räumliches Objekt, bzw. ein
konkretes Merkmal eines räumlichen Objektes bezeichnet.
Wir konstruieren eine derartige Sprache als mehrsortige
Sprache über einer endlichen Menge von paarweise
disjunkten endlichen Mengen S. (Die einzelnen Mengen
aus S könnten solche Dinge repräsentieren wie
Massekörper, Formen, Farben, u.dgl.) (In gewisser Weise
ist eine so konstruierte Sprache eine Verallgemeinerung
des Konzeptes einer Prädikatenlogik, über mehrstufige
und typenlogische Konstruktionen hinaus, die zugleich die
Nachteile von Konstruktionen über der ersten Stufe
vermeidet. – Die ‚finitistische’ Konstruktion ermöglicht die
Darstellung einer solchen Sprache quasi als eine ‚Logik
nullter Stufe’. – Wir können hier aus Platzgründen jedoch
nicht näher auf diese Gesichtspunkte eingehen.)
Die Mengen aus S haben sowohl die Funktion eine
Signatur für die Sprache anzugeben – sie sind solche
Objekte, die oft durch Prädikatenkonstanten repräsentiert
werden –, als auch die Funktion, eine Domäne für die
Sprache zu liefern – sie sind solche Objekte, die man in
einer Prädikatenlogik oft als Elemente der Domänen von
Strukturen angibt. Soll heißen: man kann in einer
‚finitistisch’ konstruierten Sprache schlicht und einfach
nicht zwischen Domäne und Signatur unterscheiden (es ist
eine Frage der Interpretation). Konsequent nennen wir die
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fundamentale semantische Konstruktion der Sprache eine
Domänensignatur D = ( S,
P)
. Hier ist S eine Sortenmenge
im oben spezifizierten Sinn.
Wir statten die Sprache FINs mit zwei
‚Sonderfunktionen’ aus: Mereologie und free logic. Die
mereologische Strukturierung kommt dadurch zustande,
dass wir aus der Menge S die Sortenmenge S’ bilden,
durch folgende Definition:
(1) jede Sorte aus S ist eine Sorte in S’,
(2) ist s eine Sorte in S’, so auch deren Potenzmenge
℘ (s).
Mit N bezeichnen wir die Menge aller Folgen von
Elementen aus S’ – grob gesprochen: die Menge der
Signaturen aller möglichen diskreten Räume über S’. Die
Menge
P ⊆ N
ist dann nichts anderes als eine endliche Teilmenge von
N, die anschaulich alle sinnvollen Kombinationen von
Mengen aus S herauspickt.
Wir definieren Terme als Konstanten und Variablen: Jedes
Element jeder Menge aus S’ ist als Konstante der Sprache
definiert, für jede Menge aus S’ setzen wir außerdem
abzählbar viele Variablen fest. Die Funktion Δ ordne jedem
Term τ seine Sorte Δ(τ)∈S’ zu.
Eine Struktur A ist dann definiert als eine Abbildung, die
zunächst jedem s ∈ S'
eine Teilmenge A (s)
zuordnet,
sodass folgendes Axiom gilt, für alle s1, s2
∈ S'
:
s2 = ℘(
s1)
→ A(
s2)
= ℘(
A(
s1))
Dieses Axiom garantiert so etwas wie die mereologische
Konsistenz der Sprachkonstruktion. Die Auswahl einer
Menge von Teilmengen der Sorten aus S’ führt ihrerseits
dazu, dass die Sprache eine free logic darstellt: A
bestimmt Mengen von existierenden Entitäten.
Zweitens ordnet A jedem p ∈ P mit p s1,
, si
K = eine
Menge
( ) ( 1) ( i ) s A s A p A × × ⊆ K
zu. Mit A bezeichnen wir die Menge aller Strukturen über
einer Domänensignatur, die, wie man leicht sieht, stets
endlich ist.
Für jedes p ∈ P mit p s1,
, si
K = ist genau jede Folge von
Termen ( τ1, K , τ i ) mit Δ (τ j ) = s , für alle j, als atomare
j
Formel der Sprache FINs definiert. Wir setzen
i p =
Δ : ) , , ( τ1 K τ . Die Syntax der Sprache ist festgelegt
durch:
φ :: = φat
| ∀xφ
| ¬ φ | φ ∧φ
,
wobei φ at für atomare Formeln steht. Wir definieren die
Erfülltheitsrelation ∗ , für alle Strukturen A, alle konstan-
s
tenbelegten atomaren Formeln φ c , alle Variablen x und
alle Formeln φ, ψ :
A ∗s ¬ φ gdw nicht A∗ s φ
A φ ∧ψ
gdw A ∗ s φ und A∗
s ψ
∗ s