Equivariant Embeddings of Algebraic Groups
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Table <strong>of</strong> Contents<br />
Chapter 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1<br />
1.1 Toric varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
1.2 Luna–Vust theory and spherical varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
1.3 The “wonderful compactification” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.4 Affine group embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
Chapter 2 Toric varieties and group embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
2.1 Toric varieties as group embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
2.1.1 Affine toric varieties and one-parameter subgroups . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
2.1.2 Toric varieties from fans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
2.1.3 The torus action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
2.1.4 <strong>Equivariant</strong> divisors in toric varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />
2.2 Toric varieties in group embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
2.2.1 Regular compactifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
2.2.2 A family <strong>of</strong> left-equivariant SL n -embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
2.3 Group embeddings from toric varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
2.3.1 Mumford’s group embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
2.3.2 Group embeddings constructed using flag varieties . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
Chapter 3 Affine group embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
3.1 Group actions on affine varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
3.2 Classification <strong>of</strong> affine group embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />
3.2.1 Limits <strong>of</strong> one-parameter subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />
3.2.2 States and strongly convex lattice cones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
3.2.3 Classification theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
3.3 Functoriality <strong>of</strong> our classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58<br />
3.3.1 <strong>Equivariant</strong> morphisms between affine G-embeddings . . . . . . . . . . . . . . 58<br />
3.3.2 Biequivariant resolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
Vita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
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