QR-Zerlegung mit Givens-Rotationen - Lehrstuhl Numerische ...
QR-Zerlegung mit Givens-Rotationen - Lehrstuhl Numerische ... QR-Zerlegung mit Givens-Rotationen - Lehrstuhl Numerische ...
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth Lehrstuhl für Numerische Mathematik QR-Zerlegung mit Givens-Rotationen Zerlegung einer Matrix A ∈ R n×n in A = QR mit orthonormaler Matrix Q ∈ R n×n , d.h. Q ⊤ Q = I, und oberer Rechtecksmatrix R ∈ R n×n . Q T = Q n−1···Q 2 Q 1 , Q k = G (k) k,(k+1) G(k) (k+1),(k+2)···G(k) (n−1),n } {{ } entfällt, falls A in Hessenbergform Für die Rotation G (k) (j−1),j, j > k, gilt G (k) (j−1),j ⎛ ⎞ ∗ ··· ··· ··· ··· ··· ∗ ... . ∗ ··· ··· ··· ∗ a k ∗ ··· ∗ . . . a j−1 ∗ ··· ∗ a j ∗ ··· ∗ 0 ∗ ··· ∗ ⎜ ⎟ ⎝ . . . ⎠ 0 ∗ ··· ∗ = ⎛ ⎞ ∗ ··· ··· ··· ··· ··· ∗ ... . ∗ ··· ··· ··· ∗ ∗ ∗ ··· ∗ . . . ∗ ∗ ··· ∗ 0 ∗ ··· ∗ 0 ∗ ··· ∗ ⎜ ⎟ ⎝ . . . ⎠ 0 ∗ ··· ∗ Givens Rotation (linalg23a) 1
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth<br />
<strong>Lehrstuhl</strong> für <strong>Numerische</strong> Mathematik<br />
<strong>QR</strong>-<strong>Zerlegung</strong> <strong>mit</strong> <strong>Givens</strong>-<strong>Rotationen</strong><br />
<strong>Zerlegung</strong> einer Matrix A ∈ R n×n in A = <strong>QR</strong> <strong>mit</strong> orthonormaler Matrix Q ∈ R n×n ,<br />
d.h. Q ⊤ Q = I, und oberer Rechtecksmatrix R ∈ R n×n .<br />
Q T = Q n−1···Q 2 Q 1 ,<br />
Q k = G (k)<br />
k,(k+1) G(k) (k+1),(k+2)···G(k) (n−1),n<br />
} {{ }<br />
entfällt, falls A in Hessenbergform<br />
Für die Rotation G (k)<br />
(j−1),j, j > k, gilt<br />
G (k)<br />
(j−1),j<br />
⎛<br />
⎞<br />
∗ ··· ··· ··· ··· ··· ∗<br />
...<br />
.<br />
∗ ··· ··· ··· ∗<br />
a k ∗ ··· ∗<br />
. . .<br />
a j−1 ∗ ··· ∗<br />
a j ∗ ··· ∗<br />
0 ∗ ··· ∗<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ . . . ⎠<br />
0 ∗ ··· ∗<br />
=<br />
⎛<br />
⎞<br />
∗ ··· ··· ··· ··· ··· ∗<br />
...<br />
.<br />
∗ ··· ··· ··· ∗<br />
∗ ∗ ··· ∗<br />
. . .<br />
∗ ∗ ··· ∗<br />
0 ∗ ··· ∗<br />
0 ∗ ··· ∗<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ . . . ⎠<br />
0 ∗ ··· ∗<br />
<strong>Givens</strong> Rotation (linalg23a) 1
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth<br />
<strong>Lehrstuhl</strong> für <strong>Numerische</strong> Mathematik<br />
<strong>Givens</strong>-Rotation G k,l<br />
⎛<br />
.<br />
x k<br />
G k,l<br />
ÈËÖÖÔÐÑÒØ×<br />
⎞ ⎛ ⎞⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
Id<br />
k →<br />
c s<br />
.<br />
=<br />
Id<br />
⎜<br />
⎝x ⎟ l<br />
ÜÐ<br />
. .<br />
x k<br />
r<br />
.<br />
=<br />
.<br />
⎠ l → ⎜<br />
⎝ −s c ⎟⎜<br />
⎠⎝<br />
³<br />
x ⎟ ⎜ l ⎠ ⎝0<br />
⎟<br />
⎠<br />
.<br />
Id . .<br />
x k<br />
Ü<br />
c = cos(ϕ) = √ = x k<br />
x<br />
2<br />
l<br />
+x 2 r ,<br />
k<br />
x l<br />
s = sin(ϕ) = √ = x l<br />
x<br />
2<br />
l<br />
+x 2 r .<br />
k<br />
Ö<br />
<strong>Givens</strong> Rotation (linalg23b) 2
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