论数学教育 - Global Science Press

athematics Education
数 学 教 育
论 1
数
学
教
育
Vladimir Arnold / 文
欧 阳 顺 湘 / 译 注
1 作 者 为 著 名 的 俄 罗 斯 数 学 家 弗 拉 基 米 尔 • 阿 诺 德 (Vladimir
Igorevich Arnold, 1937-2010)。 他 是 20 世 纪 最 伟 大 的 数 学 家 之 一 ,
曾 获 克 拉 福 德 奖 (1982)、 沃 尔 夫 奖 (2001) 和 邵 逸 夫 奖 (2008)
等 奖 。 此 文 为 1997 年 3 月 7 日 作 者 在 法 国 巴 黎 探 索 文 化 宫 (Palais
de la Découverte, 为 法 国 科 学 教 育 中 心 博 物 馆 ) 所 发 表 演 讲 的 扩 充 版 ,
以 俄 文 发 表 于 Uspekhi Mat. Nauk 53 (1998), no. 1 (319), 229-234; 英
译 见 Russian Math. Surveys 53 (1998), no. 1,229-236。 英 译 网 页 版 本
可 参 http://pauli.uni-muenster.de/~munsteg/arnold.html。 亦 有 中 译 流
传 于 网 络 。 然 而 此 中 译 不 仅 有 笔 误 、 漏 译 等 不 完 善 处 , 错 译 也 不 少 。
因 该 中 译 译 者 佚 名 , 现 遵 《 数 学 文 化 》 主 编 之 托 , 参 考 该 中 译 , 根
据 英 译 重 译 该 文 。 英 译 中 也 有 不 清 晰 处 , 是 故 徐 佩 教 授 也 帮 助 参 考
了 俄 文 。 译 文 中 尽 可 能 为 初 学 者 可 能 不 熟 悉 的 部 分 、 较 易 说 清 楚 的
内 容 加 了 些 注 释 并 配 图 以 方 便 阅 读 。 翻 译 本 非 易 事 , 本 文 涉 及 的 数
学 内 容 又 很 广 , 错 误 、 不 恰 当 处 请 读 者 批 评 。 最 后 , 关 于 阿 诺 德 的
故 事 以 及 与 本 文 类 似 的 观 点 的 更 多 阐 述 , 有 兴 趣 的 读 者 可 阅 读 他 于
1999 年 春 意 外 受 伤 后 养 病 期 间 撰 写 的 书 Yesterday and Long Ago( 原
书 为 俄 文 ,2006 年 出 版 ; 英 译 2007 年 由 Springer 出 版 )。
这 篇 文 章 反 映 了 阿 诺 德 对 布 尔 巴 基 的 批 判 , 对 庞 加 莱 (Jules Henri
Poincaré, 1854-1912) 直 觉 主 义 的 支 持 。 值 得 指 出 的 是 , 今 年 恰 为
庞 加 莱 逝 世 100 周 年 。
数 学 文 化 / 第 3 卷 第 4 期 54

athematics Education
数 学 教 育
图 1 获 2008 年 邵 逸 夫 数 学 科 学 奖 时 的 阿 诺 德 ( 图 片 来 源 :http://shawprize.org)
数 学 是 物 理 学 的 一 部 分 。 物 理 学 是 一 门 实 验 科 学 , 是 自
然 科 学 的 一 部 分 。 而 数 学 乃 是 物 理 学 中 实 验 代 价 较 小 的 部 分 。
雅 可 比 恒 等 式 ( 蕴 涵 垂 心 定 理 : 三 角 形 的 三 条 高 相 交
于 一 点 ) 2 如 同 地 球 是 圆 的 ( 即 同 胚 于 球 体 ) 一 样 , 是 一 个
实 验 事 实 , 只 不 过 发 现 前 者 不 那 么 昂 贵 。
20 世 纪 中 叶 , 人 们 试 图 割 裂 物 理 学 与 数 学 。 其 后 果 已
被 证 明 是 灾 难 性 的 。 整 整 几 代 数 学 家 在 对 其 所 从 事 科 学 之 另
2 阿 诺 德 后 来 有 文 章 更 具 体 地 谈 到 这 个 观 点 。 例 如 , 在 他 写 的 A. N.
Kolmogorov and natural science (Russian Mathematical Surveys, 2004,
59:1, 27–46) 一 文 中 , 即 明 确 提 到 由 雅 可 比 恒 等 式 [[a, b], c]+[[b, a],
c]+[[c, a], b] = 0 可 得 出 三 角 形 三 条 高 相 交 于 垂 心 , 其 中 [· , ·] 为 向 量 积 。
( 因 此 中 学 课 程 就 应 该 学 习 该 恒 等 式 , 不 必 要 等 到 学 李 代 数 等 较 高
等 课 程 时 才 学 习 。) 更 多 介 绍 可 以 参 考 《 美 国 数 学 月 刊 》 上 Nikolai
V. Ivanov 的 文 章 Arnol´d, the Jacobi Identity, and Orthocenters, The
American Mathematical Monthly, 2011, 118:1, 41–65。 顺 便 提 一 件 轶
事 。 爱 因 斯 坦 的 传 记 中 记 述 过 他 小 时 两 件 “ 奇 迹 ”。 一 是 5,6 岁
时 对 指 南 针 感 兴 趣 , 二 是 12 岁 时 对 欧 几 里 得 几 何 着 迷 , 特 别 提 到
垂 心 定 理 。
Mathematics is a part of physics. Physics is an experimental
science, a part of natural science. Mathematics is the part of
physics where experiments are cheap.
The Jacobi identity (which forces the heights of a triangle to
cross at one point) is an experimental fact in the same way as
that the Earth is round (that is, homeomorphic to a ball). But it
can be discovered with less expense.
In the middle of the twentieth century it was attempted to divide
physics and mathematics. The consequences turned out to be
catastrophic. Whole generations of mathematicians grew up
without knowing half of their science and, of course, in total
ignorance of any other sciences. They first began teaching
their ugly scholastic pseudo-mathematics to their students,
then to schoolchildren (forgetting Hardy's warning that ugly
mathematics has no permanent place under the Sun).
Since scholastic mathematics that is cut off from physics is fit
neither for teaching nor for application in any other science,
the result was the universal hate towards mathematicians - both
数 学 文 化 / 第 3 卷 第 4 期 55

athematics Education
数 学 教 育
图 2 法 国 巴 黎 探 索 皇 宫
图 3 法 国 巴 黎 高 等 师 范 学 院
一 半 极 其 无 知 的 情 况 下 成 长 , 遑 论 其 他 科 学 了 。 这 些 人 先 是
把 他 们 丑 陋 的 学 院 式 伪 数 学 传 给 他 们 的 弟 子 , 接 着 这 些 丑 陋
的 伪 数 学 又 被 教 给 中 小 学 校 里 的 孩 子 们 ( 他 们 浑 然 忘 却 了 哈
代 的 警 告 : 丑 陋 的 数 学 在 世 上 无 永 存 之 地 3 )。
学 院 式 数 学 脱 离 物 理 , 既 于 教 学 无 益 , 又 对 其 他 科 学 无
用 武 之 地 , 其 后 果 是 人 们 对 数 学 家 的 普 遍 怨 恨 。 这 样 的 人 有
学 校 里 那 些 可 怜 的 孩 子 们 ( 他 们 当 中 有 的 可 能 还 会 成 为 将 来
的 部 长 ), 也 有 应 用 这 些 数 学 的 人 。
由 那 些 既 无 法 掌 握 物 理 学 又 困 倦 于 自 卑 中 的 半 桶 水 式 数
学 家 们 所 拉 起 来 的 丑 陋 建 筑 , 总 使 人 想 起 “ 奇 数 的 严 格 公 理
化 理 论 ”。 显 然 , 完 全 可 以 创 造 一 种 能 够 使 得 学 生 们 称 赞 其
完 美 无 暇 、 内 部 结 构 和 谐 统 一 的 理 论 ( 例 如 , 可 定 义 奇 数 个
项 的 和 以 及 任 意 多 个 因 子 的 乘 积 )。 按 此 狭 隘 观 点 , 偶 数 要
么 被 认 为 是 “ 异 端 ”, 要 么 以 后 被 当 作 “ 理 想 ” 对 象 补 充 入
该 理 论 , 以 此 来 应 付 物 理 与 现 实 世 界 的 需 要 。
不 幸 的 是 , 数 十 年 来 , 正 是 如 上 述 这 样 丑 陋 扭 曲 的 数 学
结 构 充 斥 着 我 们 的 数 学 教 育 。 它 肇 始 自 法 国 , 很 快 传 染 到 基
础 数 学 教 学 , 先 是 毒 害 大 学 生 , 接 着 中 小 学 生 也 难 免 此 灾 ( 而
灾 区 最 先 是 法 国 , 接 着 是 其 他 国 家 , 包 括 俄 罗 斯 )。
倘 若 你 问 法 国 小 学 生 ,“2 + 3 等 于 几 ”, 他 会 这 样 回 答 :
“3+2, 因 为 加 法 适 合 交 换 律 ”。 他 不 知 道 其 和 为 几 , 甚 至 不
3 哈 代 (G. H. Hardy, 1877-1947) 为 英 国 著 名 数 学 家 。 该 引 语 出
自 他 的 名 著 《 一 个 数 学 家 的 自 白 》(A Mathematician´s Apology,
Cambridge University Press, 1994)。 整 段 表 达 为 : 正 像 画 家 和 诗 人
的 模 式 一 样 , 数 学 家 的 模 式 也 必 须 是 优 美 的 ; 正 像 色 彩 和 文 字 一
样 , 数 学 家 的 思 想 也 必 须 和 谐 一 致 。 优 美 是 第 一 关 : 丑 陋 的 数 学
在 世 上 无 永 存 之 地 。(The mathematician's patterns, like the painter's
or the poet's must be beautiful; the ideas, like the colors or the words
must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no
permanent place in this world for ugly mathematics.)
on the part of the poor schoolchildren (some of whom in the
meantime became ministers) and of the users.
The ugly building, built by undereducated mathematicians who
were exhausted by their inferiority complex and who were
unable to make themselves familiar with physics, reminds one
of the rigorous axiomatic theory of odd numbers. Obviously, it
is possible to create such a theory and make pupils admire the
perfection and internal consistency of the resulting structure
(in which, for example, the sum of an odd number of terms and
the product of any number of factors are defined). From this
sectarian point of view, even numbers could either be declared
a heresy or, with passage of time, be introduced into the theory
supplemented with a few“ideal”objects (in order to comply
with the needs of physics and the real world).
Unfortunately, it was an ugly twisted construction of
mathematics like the one above which predominated in the
teaching of mathematics for decades. Having originated
in France, this pervertedness quickly spread to teaching of
foundations of mathematics, first to university students, then to
school pupils of all lines (first in France, then in other countries,
including Russia).
To the question“what is 2 + 3”a French primary school pupil
replied:“3 + 2, since addition is commutative”. He did not
know what the sum was equal to and could not even understand
what he was asked about!
Another French pupil (quite rational, in my opinion) defined
mathematics as follows:“there is a square, but that still has to
be proved”.
Judging by my teaching experience in France, the university
students' idea of mathematics (even of those taught mathematics
数 学 文 化 / 第 3 卷 第 4 期 56

athematics Education
数 学 教 育
能 理 解 你 的 问 题 是 什 么 !
还 有 的 法 国 小 学 生 会 如 下 阐 述 数 学 ( 我 认 为 很 有 可 能 ):
“ 存 在 一 个 正 方 形 , 但 仍 需 证 明 。”
根 据 我 本 人 在 法 国 的 教 学 经 验 , 大 学 生 们 对 数 学 的 认 知
与 这 些 小 学 生 们 同 样 槽 糕 ( 甚 至 包 括 那 些 在 “ 高 等 师 范 学 校 ”
[ 高 师 ] 4 里 学 习 数 学 的 学 生 ── 我 为 这 些 明 显 很 聪 明 但 却 被
毒 害 颇 深 的 孩 子 们 感 到 极 度 的 惋 惜 )。
譬 如 , 这 些 学 生 从 未 见 过 一 个 抛 物 面 。 诸 如 描 述 由 方
程 xy = z 2 所 确 定 曲 面 之 形 状 这 样 的 问 题 即 可 使 高 师 的 数 学 家
们 发 怵 。 作 出 平 面 上 由 参 数 方 程 ( 如 x = t 3 - 3t, y = t 4 - 2t 2 )
刻 画 的 曲 线 是 学 生 ( 甚 至 或 许 对 大 多 数 法 国 数 学 教 授 ) 完 全
无 法 做 的 问 题 。
从 洛 必 达 的 第 一 部 微 积 分 教 科 书 ( 名 字 即 为 “ 用 于 理 解
曲 线 的 微 积 分 ”) 5 开 始 , 大 致 到 古 尔 萨 写 的 课 本 6 , 解 决 这
些 问 题 的 能 力 ( 和 熟 悉 单 位 数 乘 法 表 一 样 ) 一 直 都 被 认 为 是
每 一 个 数 学 家 应 当 具 备 的 基 本 技 能 。
弱 智 的 “ 抽 象 数 学 ” 的 狂 热 者 将 几 何 ( 由 此 物 理 和 现 实
的 联 系 能 常 在 数 学 中 反 映 ) 统 统 摒 除 于 教 学 之 外 。 由 古 尔 萨
、 埃 尔 米 特 、 皮 卡 等 人 写 的 微 积 分 教 程 被 认 为 是 过 时 而 有 害
的 , 最 近 差 点 被 巴 黎 第 6 和 第 7 大 学 的 学 生 图 书 馆 当 垃 圾 丢
掉 , 只 是 在 我 的 干 预 下 才 得 以 保 存 。
高 师 的 学 生 , 听 完 所 有 微 分 几 何 与 代 数 几 何 课 程 ( 由 有
名 望 的 数 学 家 所 教 ), 却 既 不 熟 悉 由 椭 圆 曲 线 y 2 = x 3 + ax + b
决 定 的 黎 曼 曲 面 , 事 实 上 也 不 知 道 曲 面 的 拓 扑 分 类 ( 更 不 用
提 第 一 类 椭 圆 积 分 以 及 椭 圆 曲 线 的 群 性 质 , 即 欧 拉 - 阿 贝 尔
加 法 定 理 了 )。 他 们 仅 仅 学 到 了 霍 奇 结 构 与 雅 可 比 簇 !
这 样 的 事 情 怎 么 会 在 法 国 发 生 呢 ?! 这 可 是 为 我 们 这 个
世 界 贡 献 了 拉 格 朗 日 与 拉 普 拉 斯 、 柯 西 与 庞 加 莱 、 勒 雷 与 托
姆 这 样 的 大 家 的 国 度 啊 ! 我 觉 得 一 个 合 理 的 解 释 出 自 彼 德 罗
夫 斯 基 7 。 他 在 1966 年 曾 教 导 过 我 : 真 正 的 数 学 家 决 不 会 拉
帮 结 派 , 唯 有 弱 者 才 会 结 党 营 生 。 他 们 可 能 因 各 种 原 因 而 联
4 高 师 是 法 国 最 好 的 大 学 , 法 国 最 具 选 拔 性 和 挑 战 性 的 高 等 教 育 研
究 机 构 。 校 友 中 迄 今 已 有 施 瓦 茨 、 托 姆 以 及 新 近 的 吴 宝 珠 、 维 拉 尼
等 共 10 位 菲 尔 兹 奖 得 主 。
5 洛 必 达 (Guillaume François Antoine, Marquis de l'Hôpital, 1661-
1704), 法 国 数 学 家 。 所 提 他 撰 写 的 教 材 原 文 名 为 Analyse des
infiniment petits pour l´intelligence des lignes courbes,1696 年 出 版 。
著 名 的 洛 必 达 法 则 即 出 现 在 此 书 中 。
6 古 尔 萨 (Edouard Goursat, 1858-1936), 法 国 数 学 家 。 他 的 课 本 指
1902 年 开 始 陆 续 出 版 的 三 卷 本 《 数 学 分 析 教 程 》(Cours d´analyse
mathématique)。 中 译 最 早 有 19 世 纪 30 年 代 王 尚 济 的 《 解 析 数 学 讲 义 》
以 及 40 年 代 刘 景 芳 翻 译 的 《 数 学 分 析 教 程 》。
7 彼 德 罗 夫 斯 基 (Ivan Georgievich Petrovsky, 1901-1973) 研 究 偏 微
分 方 程 等 , 对 希 尔 伯 特 第 19 和 第 16 问 题 有 重 要 贡 献 。 曾 任 莫 斯 科
国 立 大 学 校 长 ( 期 间 阿 诺 德 被 录 取 )。
图 4 古 尔 萨
at the École Normale Supérieure - I feel sorry most of all for
these obviously intelligent but deformed kids) is as poor as that
of this pupil.
For example, these students have never seen a paraboloid and a
question on the form of the surface given by the equation xy = z 2
puts the mathematicians studying at ENS into a stupor. Drawing
a curve given by parametric equations (like x = t 3 - 3t, y = t 4 -
2t 2 ) on a plane is a totally impossible problem for students (and,
probably, even for most French professors of mathematics).
Beginning with l'Hôpital's first textbook on calculus (“calculus
for understanding of curved lines”) and roughly until Goursat´s
textbook, the ability to solve such problems was considered to
be (along with the knowledge of the times table) a necessary part
of the craft of every mathematician.
Mentally challenged zealots of“abstract mathematics”threw all
the geometry (through which connection with physics and reality
most often takes place in mathematics) out of teaching. Calculus
textbooks by Goursat, Hermite, Picard were recently dumped by
the student library of the Universities Paris 6 and 7 (Jussieu) as
obsolete and, therefore, harmful (they were only rescued by my
intervention).
ENS students who have sat through courses on differential
and algebraic geometry (read by respected mathematicians)
turned out be acquainted neither with the Riemann surface of an
elliptic curve y 2 = x 3 + ax + b nor, in fact, with the topological
classification of surfaces (not even mentioning elliptic integrals
数 学 文 化 / 第 3 卷 第 4 期 57

athematics Education
数 学 教 育
of first kind and the group property of an elliptic curve, that is,
the Euler-Abel addition theorem). They were only taught Hodge
structures and Jacobi varieties!
How could this happen in France, which gave the world
Lagrange and Laplace, Cauchy and Poincaré, Leray and Thom?
It seems to me that a reasonable explanation was given by I.G.
Petrovskii, who taught me in 1966: genuine mathematicians do
not gang up, but the weak need gangs in order to survive. They
can unite on various grounds (it could be super-abstractness,
anti-Semitism or“applied and industrial”problems), but the
essence is always a solution of the social problem - survival in
conditions of more literate surroundings.
By the way, I shall remind you of a warning of L. Pasteur: there
never have been and never will be any“applied sciences”,
there are only applications of sciences (quite useful ones!).
合 ( 可 能 为 超 抽 象 , 反 犹 主 义 或 为 “ 应 用 的 和 工 业 上 的 ” 问
题 ), 但 其 本 质 总 是 在 一 些 非 数 学 的 社 会 问 题 中 求 生 存 。
我 在 此 顺 便 提 醒 大 家 温 习 路 易 • 巴 斯 德
8
的 忠 告 : 从 来
没 有 所 谓 的 “ 应 用 科 学 ”, 有 的 只 是 科 学 的 应 用 ( 而 且 非 常
实 际 的 应 用 !)。
当 时 我 一 直 对 彼 德 罗 夫 斯 基 的 话 心 存 疑 虑 , 但 现 今 我 愈
来 愈 坚 信 : 他 说 的 一 点 没 错 。 可 观 的 超 抽 象 活 动 最 终 归 结 为
以 工 业 化 的 模 式 无 耻 地 掠 夺 原 创 者 的 成 果 , 然 后 系 统 地 将 这
些 成 果 归 功 于 拙 劣 的 推 广 者 。 就 如 美 洲 没 有 以 哥 伦 布 的 名 字
命 名 一 样 , 数 学 结 果 也 几 乎 从 未 以 它 们 真 正 的 发 现 者 来 命 名 。
为 避 免 被 误 引 , 我 须 声 明 , 由 于 某 些 未 知 的 缘 故 , 我 自
己 的 成 果 从 未 被 上 述 方 式 侵 占 , 虽 然 这 样 的 事 情 经 常 发 生 在
我 的 老 师 ( 柯 尔 莫 哥 洛 夫 、 彼 德 罗 夫 斯 基 、 庞 特 里 亚 金 、 洛
赫 林 ) 和 我 的 学 生 身 上 。M. Berry 教 授 曾 提 出 如 下 两 个 原 理 :
Arnold 原 理 : 如 果 某 概 念 出 现 了 某 人 名 , 则 该 人 必 非 发 现 此
概 念 者 。
图 5 1973 年 发 行 的 纪 念 彼 特 洛 夫 斯 基 的 邮 票
Berry 原 理 : 阿 诺 德 原 理 适 用 于 自 身 。
我 们 还 是 回 到 法 国 的 数 学 教 育 上 来 。
在 我 为 莫 斯 科 国 立 大 学 数 学 与 力 学 系 一 年 级 学 生 时 , 微
积 分 课 教 师 是 集 合 论 拓 扑 学 家 L.A. 图 马 金 。 他 认 真 地 讲 解 古
尔 萨 版 的 古 典 法 式 微 积 分 教 程 。 他 告 诉 我 们 若 相 应 黎 曼 面 是 球
面 , 则 有 理 函 数 沿 着 代 数 曲 线 的 积 分 可 以 求 出 来 ; 若 相 应 黎 曼
8 路 易 • 巴 斯 德 (Louis Pasteur, 1822-1895), 法 国 微 生 物 学 家 、 化 学 家 ,
微 生 物 学 的 奠 基 人 之 一 。 巴 斯 德 原 文 常 见 英 译 为 “There are no such
things as applied sciences, only applications of science”。
In those times I was treating Petrovskii's words with some doubt,
but now I am being more and more convinced of how right he
was. A considerable part of the super-abstract activity comes
down simply to industrialising shameless grabbing of discoveries
from discoverers and then systematically assigning them to
epigons-generalizers. Similarly to the fact that America does not
carry Columbus's name, mathematical results are almost never
called by the names of their discoverers.
In order to avoid being misquoted, I have to note that my own
achievements were for some unknown reason never expropriated
in this way, although it always happened to both my teachers
(Kolmogorov, Petrovskii, Pontryagin, Rokhlin) and my pupils.
Prof. M. Berry once formulated the following two principles:
The Arnold Principle. If a notion bears a personal name, then
this name is not the name of the discoverer.
The Berry Principle. The Arnold Principle is applicable to
itself.
Let's return, however, to teaching of mathematics in France.
When I was a first-year student at the Faculty of Mechanics and
Mathematics of the Moscow State University, the lectures on
calculus were read by the set-theoretic topologist L.A. Tumarkin,
who conscientiously retold the old classical calculus course of
French type in the Goursat version. He told us that integrals
of rational functions along an algebraic curve can be taken if
the corresponding Riemann surface is a sphere and, generally
speaking, cannot be taken if its genus is higher, and that for the
sphericity it is enough to have a sufficiently large number of
double points on the curve of a given degree (which forces the
curve to be unicursal: it is possible to draw its real points on the
数 学 文 化 / 第 3 卷 第 4 期 58