AIS`10. О фрактальном анализе хаотических ... - FRUCT
AIS`10. О фрактальном анализе хаотических ... - FRUCT
AIS`10. О фрактальном анализе хаотических ... - FRUCT
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>О</strong> <strong>фрактальном</strong> <strong>анализе</strong><br />
<strong>хаотических</strong> временных<br />
рядов.<br />
Дубовиков Михаил Михайлович<br />
Директор по стратегии
Фракталы<br />
<strong>О</strong>пределение размерности (F. Hausdorff, 1919)<br />
(для компактного множества в произвольном<br />
метрическом пространстве)<br />
где N(<br />
) <br />
покрывающих<br />
Мотивация:<br />
D<br />
lim<br />
0<br />
минимальное<br />
ln N(<br />
)<br />
ln ( 1/<br />
)<br />
исходное множество.<br />
N ( )<br />
,<br />
число шаров<br />
радиуса<br />
D<br />
) ~ ( 1/<br />
(D=1,2,3)<br />
,
Фракталы<br />
Кривая Коха. Внутренняя размерность.<br />
D <br />
lim<br />
0<br />
при <br />
<br />
N( ) 4<br />
ln 4<br />
ln 3<br />
n<br />
n<br />
n<br />
( 1/<br />
3)<br />
<br />
n<br />
,<br />
ln 4<br />
ln 3<br />
<br />
1.<br />
26
при <br />
Фракталы<br />
Ковер Серпинского. Клеточная размерность.<br />
D <br />
lim<br />
0<br />
n<br />
( 1/<br />
3)<br />
ln 8<br />
ln 3<br />
n<br />
n<br />
,<br />
<br />
ln 8<br />
ln 3<br />
N( ) 8<br />
<br />
1.<br />
89<br />
n
P(<br />
) ~ <br />
<br />
Фракталы<br />
Береговая линия Британии (L.F. Richardson, 1961)<br />
P( ) N(<br />
) <br />
D<br />
1<br />
1,<br />
24<br />
N(<br />
) ~ <br />
( 1)
Фракталы<br />
<strong>О</strong>пределение (B. Mandelbrot):<br />
Фрактал – это множество,<br />
для которого хаусдорфова<br />
размерность D строго<br />
больше его топологической<br />
размерности DT
Фракталы<br />
Финансовые временные ряды.<br />
Клеточная размерность.<br />
N<br />
( ) ~<br />
<br />
<br />
D
Фракталы<br />
Финансовые временные ряды.<br />
Показатель Херста H<br />
) X t<br />
X ( X ~ <br />
Для гауссовых случайных процессов<br />
D=2-H<br />
t<br />
H
Фракталы<br />
Финансовые временные ряды.<br />
Показатель Херста H<br />
.<br />
,<br />
среднем<br />
в<br />
.<br />
.<br />
,<br />
0,5<br />
H<br />
При<br />
наоборот.<br />
и<br />
будущем,<br />
в<br />
приращение<br />
ное<br />
положитель<br />
среднем<br />
в<br />
означает<br />
прошлом<br />
в<br />
приращение<br />
ное<br />
положитель<br />
е.<br />
т.<br />
на,<br />
положитель<br />
корреляция<br />
0,5<br />
H<br />
При<br />
т.<br />
отсутствуе<br />
корреляция<br />
0,5<br />
H<br />
2<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
C(t)<br />
,<br />
0<br />
)<br />
0<br />
(<br />
X<br />
1<br />
,<br />
1<br />
2<br />
2<br />
H<br />
наоборот<br />
и<br />
будущем<br />
в<br />
приращение<br />
ное<br />
отрицатель<br />
означает<br />
прошлом<br />
в<br />
приращение<br />
ное<br />
положитель<br />
е<br />
т<br />
на<br />
отрицатель<br />
корреляция<br />
При<br />
t<br />
X<br />
t<br />
X<br />
t<br />
X<br />
будущими<br />
с<br />
приращений<br />
прошлых<br />
корреляций<br />
функция<br />
ная<br />
нормирован<br />
и<br />
где<br />
единиц<br />
системе<br />
в<br />
движения<br />
го<br />
броуновско<br />
о<br />
обобщенног<br />
Для<br />
H<br />
H<br />
H<br />
H
Фракталы<br />
Сравнение результатов использования<br />
различных аппроксимаций для модельных<br />
фракталов
Фракталы<br />
Финансовые временные ряды.<br />
Асимптотика для площади покрытий.<br />
N(<br />
)<br />
~ ( 1/<br />
)<br />
при<br />
D<br />
<br />
<br />
0<br />
S(<br />
)<br />
~<br />
<br />
2D<br />
,
Фракталы<br />
Финансовые временные ряды.<br />
Размерность минимального покрытия.<br />
Индекс фрактальности .<br />
Для функции f(t), определенной на [a,b] введем равномерное разбиение<br />
отрезка t t t b,<br />
где t t<br />
( b a)<br />
n i 1,2,...,<br />
n<br />
n<br />
a 0 1 ... n<br />
i i 1<br />
и рассмотрим минимальное покрытие графика f(t). Тогда:<br />
S<br />
<br />
на<br />
( )<br />
Здесь<br />
i - м<br />
<br />
i1<br />
при<br />
i<br />
n<br />
2<br />
A ( ) ~ <br />
i<br />
<br />
интервале<br />
0.<br />
D<br />
А амплитуда f(t)<br />
,
Фракталы<br />
Финансовые временные ряды.<br />
Индекс фрактальности .<br />
Для функции f(t), определенной на [a,b] введем равномерное разбиение<br />
отрезка t t t b,<br />
где t t<br />
( b a)<br />
n i 1,2,...,<br />
n<br />
n<br />
a 0 1 ... n<br />
i i 1<br />
<strong>О</strong>бозначим:<br />
Тогда, если - хаусдорфова размерность f(t), то<br />
где<br />
D<br />
V<br />
f<br />
V f<br />
n<br />
<br />
i1<br />
( ) A ( )<br />
( ) ~ <br />
i<br />
<br />
D 1<br />
D <br />
,<br />
D T
Фрактальный анализ финансовых временных рядов.<br />
Быстрый выход на степенную ассимптотику.<br />
2<br />
R<br />
0.<br />
531<br />
<br />
2<br />
R 0.<br />
991
Фрактальный анализ финансовых временных рядов.<br />
Типичное поведение ряда и функции<br />
<br />
t
Фрактальный анализ финансовых временных рядов.<br />
Доли основных состояний для некоторых акций на<br />
американском фондовом рынке.<br />
Временной<br />
ряд цен<br />
Броуновское<br />
движение<br />
Тренд Флэт<br />
Alcoa Inc 23 % 43 % 34 %<br />
Boeing Corp 24 % 37 % 39 %<br />
IBM 25 % 39 % 36 %<br />
Microsoft Corp 26 % 36 % 38 %<br />
Exxon Mobile<br />
Corp<br />
15 % 50 % 35 %
Фрактальный анализ финансовых временных рядов.<br />
Быстрый выход на степенную ассимптотику.<br />
2<br />
R<br />
0.<br />
998<br />
Типичная диаграмма для вычисления при длине исходного<br />
ряда 4096 дней:
Эффект увеличения крупномасштабных колебаний<br />
при уменьшении мелкомасштабных.<br />
1/ n<br />
Введем A( ) V<br />
f ( ) / n<br />
~ <br />
<br />
<br />
где<br />
1<br />
A( ) ~ ( ) ~ <br />
H<br />
<br />
V f<br />
1 <br />
H<br />
,
Эффект увеличения крупномасштабных колебаний<br />
при уменьшении мелкомасштабных.<br />
Индикатор Старченко.<br />
Индикатор нестабильности<br />
0,15<br />
0,1<br />
0,05<br />
0<br />
-0,05<br />
-0,1<br />
-0,15<br />
-0,2<br />
09.04.2001<br />
09.07.2001<br />
09.10.2001<br />
09.01.2002<br />
09.04.2002<br />
Средний индикатор<br />
Средний индекс<br />
09.07.2002<br />
09.10.2002<br />
09.01.2003<br />
09.04.2003<br />
09.07.2003<br />
09.10.2003<br />
09.01.2004<br />
09.04.2004<br />
09.07.2004<br />
09.10.2004<br />
09.01.2005<br />
09.04.2005<br />
09.07.2005<br />
09.10.2005<br />
09.01.2006<br />
09.04.2006<br />
09.07.2006<br />
09.10.2006<br />
Сигналы возможного увеличения<br />
амплитуды колебаний<br />
09.01.2007<br />
09.04.2007<br />
09.07.2007<br />
09.10.2007<br />
09.01.2008<br />
09.04.2008<br />
09.07.2008<br />
09.10.2008<br />
09.01.2009<br />
09.04.2009<br />
09.07.2009<br />
09.10.2009<br />
09.01.2010<br />
5,00<br />
4,50<br />
4,00<br />
3,50<br />
3,00<br />
2,50<br />
2,00<br />
1,50<br />
1,00<br />
0,50<br />
<strong>О</strong>тносительное значение фондового индекса крупнейших<br />
рынков
Фракталы<br />
«Существуют многочисленные<br />
явления, в которых через определенное<br />
время разрушается любой мыслимый<br />
порядок. Но сколь бы хаотичной не<br />
становилась жизнь, на сколь бы мелкие<br />
осколки ни разбивалась всякая<br />
регулярность, одна мощная крепость<br />
остается незыблемой, гордо<br />
возвышаясь над турбулентным хаосом.<br />
Эта крепость – самоподобие,<br />
инвариантность относительно<br />
изменения масштаба, или скейлинга».<br />
Manfred R. Schroeder
Литература:<br />
1. Dubovikov M.M., Starchenko N.S., Dubovikov M.S.<br />
Dimension of the minimal cover and fractal analysis of<br />
time series // Physica. 2004. A 339. Р. 591 – 608<br />
2. Dubovikov M.M., Starchenko N.S. Variation index and<br />
its applications to analysis of fractal structures // Sci.<br />
Almanac Gordon. 2003. № 1. Р. 1 – 30<br />
3. Bachelier L. Theory of Speculation (Translation of<br />
1900 French edn) / P.H. Cootner (Ed.) // The Random<br />
Character of Stock Market Prices, The MIT Press,<br />
Cambridge. 1964. Р. 17 – 78.<br />
4. Mandelbrot B. The variation of certain speculative<br />
prices // J. Business. 1963. 36. Р. 394 – 419.<br />
5. Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature. W.H.<br />
Freeman. San Francisco, 1982.
Спасибо за внимание<br />
Дубовиков<br />
Михаил Михайлович