AIS`10. О фрактальном анализе хаотических ... - FRUCT

О фрактальном анализе
хаотических временных
рядов.
Дубовиков Михаил Михайлович
Директор по стратегии

Фракталы
Определение размерности (F. Hausdorff, 1919)
(для компактного множества в произвольном
метрическом пространстве)
где N(
)
покрывающих
Мотивация:
D
lim
0
минимальное
ln N(
)
ln ( 1/
)
исходное множество.
N ( )
,
число шаров
радиуса
D
) ~ ( 1/
(D=1,2,3)
,

Фракталы
Кривая Коха. Внутренняя размерность.
D
lim
0
при
N( ) 4
ln 4
ln 3
n
n
n
( 1/
3)
n
,
ln 4
ln 3
1.
26

при
Фракталы
Ковер Серпинского. Клеточная размерность.
D
lim
0
n
( 1/
3)
ln 8
ln 3
n
n
,
ln 8
ln 3
N( ) 8
1.
89
n

P(
) ~
Фракталы
Береговая линия Британии (L.F. Richardson, 1961)
P( ) N(
)
D
1
1,
24
N(
) ~
( 1)

Фракталы
Определение (B. Mandelbrot):
Фрактал – это множество,
для которого хаусдорфова
размерность D строго
больше его топологической
размерности DT

Фракталы
Финансовые временные ряды.
Клеточная размерность.
N
( ) ~
D

Фракталы
Финансовые временные ряды.
Показатель Херста H
) X t
X ( X ~
Для гауссовых случайных процессов
D=2-H
t
H

Фракталы
Финансовые временные ряды.
Показатель Херста H
.
,
среднем
в
.
.
,
0,5
H
При
наоборот.
и
будущем,
в
приращение
ное
положитель
среднем
в
означает
прошлом
в
приращение
ное
положитель
е.
т.
на,
положитель
корреляция
0,5
H
При
т.
отсутствуе
корреляция
0,5
H
2
)
(
)
(
)
(
C(t)
,
0
)
0
(
X
1
,
1
2
2
H
наоборот
и
будущем
в
приращение
ное
отрицатель
означает
прошлом
в
приращение
ное
положитель
е
т
на
отрицатель
корреляция
При
t
X
t
X
t
X
будущими
с
приращений
прошлых
корреляций
функция
ная
нормирован
и
где
единиц
системе
в
движения
го
броуновско
о
обобщенног
Для
H
H
H
H

Фракталы
Сравнение результатов использования
различных аппроксимаций для модельных
фракталов

Фракталы
Финансовые временные ряды.
Асимптотика для площади покрытий.
N(
)
~ ( 1/
)
при
D
0
S(
)
~
2D
,

Фракталы
Финансовые временные ряды.
Размерность минимального покрытия.
Индекс фрактальности .
Для функции f(t), определенной на [a,b] введем равномерное разбиение
отрезка t t t b,
где t t
( b a)
n i 1,2,...,
n
n
a 0 1 ... n
i i 1
и рассмотрим минимальное покрытие графика f(t). Тогда:
S
на
( )
Здесь
i - м
i1
при
i
n
2
A ( ) ~
i
интервале
0.
D
А амплитуда f(t)
,

Фракталы
Финансовые временные ряды.
Индекс фрактальности .
Для функции f(t), определенной на [a,b] введем равномерное разбиение
отрезка t t t b,
где t t
( b a)
n i 1,2,...,
n
n
a 0 1 ... n
i i 1
Обозначим:
Тогда, если - хаусдорфова размерность f(t), то
где
D
V
f
V f
n
i1
( ) A ( )
( ) ~
i
D 1
D
,
D T

Фрактальный анализ финансовых временных рядов.
Быстрый выход на степенную ассимптотику.
2
R
0.
531
2
R 0.
991

Фрактальный анализ финансовых временных рядов.
Типичное поведение ряда и функции
t

Фрактальный анализ финансовых временных рядов.
Доли основных состояний для некоторых акций на
американском фондовом рынке.
Временной
ряд цен
Броуновское
движение
Тренд Флэт
Alcoa Inc 23 % 43 % 34 %
Boeing Corp 24 % 37 % 39 %
IBM 25 % 39 % 36 %
Microsoft Corp 26 % 36 % 38 %
Exxon Mobile
Corp
15 % 50 % 35 %

Фрактальный анализ финансовых временных рядов.
Быстрый выход на степенную ассимптотику.
2
R
0.
998
Типичная диаграмма для вычисления при длине исходного
ряда 4096 дней:

Эффект увеличения крупномасштабных колебаний
при уменьшении мелкомасштабных.
1/ n
Введем A( ) V
f ( ) / n
~
где
1
A( ) ~ ( ) ~
H
V f
1
H
,

Эффект увеличения крупномасштабных колебаний
при уменьшении мелкомасштабных.
Индикатор Старченко.
Индикатор нестабильности
0,15
0,1
0,05
0
-0,05
-0,1
-0,15
-0,2
09.04.2001
09.07.2001
09.10.2001
09.01.2002
09.04.2002
Средний индикатор
Средний индекс
09.07.2002
09.10.2002
09.01.2003
09.04.2003
09.07.2003
09.10.2003
09.01.2004
09.04.2004
09.07.2004
09.10.2004
09.01.2005
09.04.2005
09.07.2005
09.10.2005
09.01.2006
09.04.2006
09.07.2006
09.10.2006
Сигналы возможного увеличения
амплитуды колебаний
09.01.2007
09.04.2007
09.07.2007
09.10.2007
09.01.2008
09.04.2008
09.07.2008
09.10.2008
09.01.2009
09.04.2009
09.07.2009
09.10.2009
09.01.2010
5,00
4,50
4,00
3,50
3,00
2,50
2,00
1,50
1,00
0,50
Относительное значение фондового индекса крупнейших
рынков

Фракталы
«Существуют многочисленные
явления, в которых через определенное
время разрушается любой мыслимый
порядок. Но сколь бы хаотичной не
становилась жизнь, на сколь бы мелкие
осколки ни разбивалась всякая
регулярность, одна мощная крепость
остается незыблемой, гордо
возвышаясь над турбулентным хаосом.
Эта крепость – самоподобие,
инвариантность относительно
изменения масштаба, или скейлинга».
Manfred R. Schroeder

Литература:
1. Dubovikov M.M., Starchenko N.S., Dubovikov M.S.
Dimension of the minimal cover and fractal analysis of
time series // Physica. 2004. A 339. Р. 591 – 608
2. Dubovikov M.M., Starchenko N.S. Variation index and
its applications to analysis of fractal structures // Sci.
Almanac Gordon. 2003. № 1. Р. 1 – 30
3. Bachelier L. Theory of Speculation (Translation of
1900 French edn) / P.H. Cootner (Ed.) // The Random
Character of Stock Market Prices, The MIT Press,
Cambridge. 1964. Р. 17 – 78.
4. Mandelbrot B. The variation of certain speculative
prices // J. Business. 1963. 36. Р. 394 – 419.
5. Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature. W.H.
Freeman. San Francisco, 1982.

Спасибо за внимание
Дубовиков
Михаил Михайлович