Problemsamling
Problemsamling
Problemsamling
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Crystal Structure (CS)<br />
1. A crystal is assumed to consist of close packed spheres. Calculate the<br />
maximum part of the available volume, which can be filled with spheres<br />
in:<br />
(a) a simple cubic structure (sc),<br />
(b) a body centered cubic structure (bcc),<br />
(c) a face centered cubic structure (fcc)<br />
2. The crystal structure of iron is bcc at temperatures below 910 K and fcc<br />
above. Calculate the ratio of the densities of the two structures under the<br />
assumption that the atoms can be considered to be close packed spheres<br />
the diameters of which are the same in both structures.<br />
3. One can place interstitial atoms between the normal crystal atoms in the<br />
close packed cubic crystal structure (fcc). There are two types of interstitial<br />
site in this structure. State where these two interstitial sites are and calculate<br />
the maximum radius that each foreign atom occupying these interstices can<br />
have.<br />
4. The density of bcc iron is 7900 kg/m 3 . Determine the lattice parameter<br />
of the cubic unit cell.<br />
5. Calculate the maximum radius that an interstitial atom can have in the<br />
bcc lattice if the atoms are considered to be spheres in contact with their<br />
nearest neighbours.<br />
1
Lattice Dynamics (LD)<br />
1. The Debye temperature of diamond is 2000 K, its density is 3500 kgm -3<br />
and the interatomic spacing is 0.15 nm. Calculate the velocity of sound<br />
in diamond. Make an estimate of the dominant phonon wavelength at<br />
300 K and the frequency of lattice vibration to which this corresponds.<br />
The Free Electron Model (FEM)<br />
1. Calculate the Fermi energy EF for Na, Li and Al with the help of suitable<br />
information from a handbook. The normal valences can be assumed.<br />
2. In a measurement of the resistance of a copper wire, the voltage was<br />
measured to be 1.7 mV when the current was 0.5 A. The wire has a cross<br />
sectional area of 1 mm 2 and is 20 cm long (between the voltage contacts).<br />
Determine the average mean free path for a conduction electron if one<br />
takes a valence of one for copper.<br />
3. Determine the order of magnitude of the electric field strength that is<br />
required to bring about a field induced "shift" Δk of the Fermi surface for<br />
copper, that is equivalent to 1% of the wavevector kF.<br />
Use the free electron model with a valence of one and the relaxation time<br />
for copper at room temperature. What value of the current density is valid<br />
for the field estimated?<br />
4. Let the electrical conductivity be given by σ = ne 2 τ/m. What temperature -<br />
coefficient should we expect to find for the resistivity of copper in the<br />
interval 0 to 100 ˚C if the relaxation time is assumed to be independent of<br />
temperature? Discuss the result in comparison with the experimental value<br />
for the temperature coefficient.<br />
2
5. The value of the electron contribution Cel = γT to the heat capacity and<br />
the lattice constant for the three alkali metals Na, K and Rb is given<br />
below.<br />
Na K Rb<br />
γ [J/kmol K 2 ] 1.38 2.08 2.41<br />
a [Å] 4.225 5.225 5.585<br />
With the aid of a suitable diagram, calculate the effective<br />
thermal mass of the three metals.<br />
6. Consider a two-dimensional free electron gas with a density N/A in a<br />
quadratic lattice with lattice constant a. Derive an expression for the density<br />
of states.<br />
7. An aluminium wire is 0.5 m long and has a cross sectional surface area of<br />
1.00 mm 2 . A voltage of 13.5 mV is required to drive a current of 1.0 A<br />
between the ends of the wire. Determine the relaxation time using the free<br />
electron model and the average mean free path for the electrons in<br />
aluminium, as well as their drift velocity in this case. Aluminium is a<br />
trivalent metal.<br />
8. What is the separation between neighbouring levels at the Fermi surface<br />
for (a) 10 cm 3 , (b) 10 µm 3 and (c) 100 Å 3 of Al particles in the free electron<br />
model?<br />
9. Let an imaginary two dimensional metal crystallise in a simple quadratic<br />
lattice and assume that the free electron model is applicable.<br />
(a) Show that the kinetic energy of the electron is twice the size when<br />
it lies at the corner of the first Brillouin zone as it is when in the<br />
middle of the zone boundary.<br />
3
(b) What is the corresponding factor for a simple cubic lattice in three<br />
dimensions?<br />
(c) What is implied by the fact that the Brillouin zone can be associated<br />
with different energies?<br />
10. The Fermi energy of copper at 0 K is 7 eV. Calculate the mean energy of<br />
the conduction electrons and their root mean square velocity.<br />
11 Calculate the electronic specific heat of a mole of copper at 300 K. At what<br />
low temperature are the electronic and lattice specific heats of copper equal<br />
to one another?<br />
12. The Hall coefficient of Al is 1.02 10 -10 Vm/AT. How many electrons per<br />
atom take part in electrical conduction?<br />
Semiconductors (Se)<br />
1. Calculate the position of the intrinsic Fermi level in InP at room<br />
temperature when the bandgap is Eg = 1.26 eV. Where does the Fermi<br />
level lie at T = 0 K if Eg is assumed to be temperature independent?<br />
(me = 0.073 m and mh = 0.2 m.)<br />
2. A measurement of the voltage drop U across an InSb sample was made as a<br />
function of temperature, T, with a constant current to determine its<br />
bandgap and the measured values below were obtained. The whole time,<br />
the sample was in the temperature interval for intrinsic conduction.<br />
T [K] 237.7 245.5 255.5 268.1 275.7 283.7 290.6<br />
U [mV] 6.817 5.862 4.821 3.827 3.358 2.910 2.610<br />
4
Calculate the band gap under the assumption that the variation in the<br />
conductivity is partly caused by the increase in the density of charge<br />
carriers and partly arises from the mobility, µ, of the charge carriers being<br />
temperature dependent because of the thermal vibrations of the atoms.<br />
Assume that µ ∝ T -3/2 in the relevant temperature interval.<br />
3. Determine the maximum concentration (atomic fraction) of donor atoms<br />
that can be allowed in the substances in the table below for intrinsic<br />
conduction to dominate at room temperature. Is it possible to realise this<br />
practically in any of these cases?<br />
Substance Bandgap [eV] Density [kg/m 3 ]<br />
Diamond 5.33 3.51 x 10 3<br />
Silicon 1.14 2.42 x 10 3<br />
Germanium 0.62 5.35 x 10 3<br />
4. A silicon crystal is doped with Sb atoms to a concentration of 10 21 m -3 .<br />
The impurity level lies 0.04 eV from the nearest band edge. Assume that<br />
the band gap at 450 K is Eg = 1.14 eV. Calculate the conductivity at T = 450<br />
K. Approximate the effective masses with the free electron mass and<br />
assume that all impurity centres are ionised at room temperature. The<br />
mobilities are: µe = 0.13 m 2 /Vs and µ h = 0.05 m 2 /Vs.<br />
5. Calculate the concentration of electrons and holes in a p-type<br />
semiconductor if the conductivity σ = 10 (Ωm) -1 , the mobilities are µ h =<br />
0.2 m 2 /Vs and µe = 0.4 m 2 /Vs and the concentration of intrinsic carriers<br />
is ni = 2.2 x 10 19 m -3 .<br />
6. A silicon crystal is doped with 5 x 10 20 As atoms/m 3 . The donor level<br />
lies 0.05 eV from the edge of the conduction band, and the band gap is<br />
5
1.14 eV. Calculate the position of the Fermi level at 200 K and the<br />
number of unionised As atoms. me = m h = m.<br />
7. A sample of silicon contains 10 -4 atomic percent of phosphorous donors<br />
which are all singly ionized at room temperature. The electron mobility<br />
is 0.15 m 2 /Vs. Calculate the extrinsic resistivity of the sample.<br />
8. A sample of n-type Ge contains 10 23 ionized donors per cubic meter.<br />
Estimate the ratio at room temperature of the resistivity of this material<br />
to that of high-purity intrinsic germanium.<br />
The p-n junction (PN)<br />
1. Estimate the ratio of the forward and the reverse biased currents in a p-n<br />
junction diode when the applied voltage is 0.5 V.<br />
2. A current of 5 µA flows through a simple p-n junction diode at room<br />
temperature when it is reverse biased with 0.15 eV. Calculate the current<br />
flow when it is forward biased with the same voltage.<br />
3. In a certain p-n junction at room temperature, the maximum current<br />
obtained on reverse bias was 10 µA. What current would be expected to<br />
pass through the junction if a forward bias of 0.1 V were applied?<br />
4. Derive an expression for the differential resistance of a p-n junction. How<br />
does it vary with temperature when the junction is forward-biased with a<br />
certain voltage greater than 4kT/e? Would this device be of any value as a<br />
practical thermometer?<br />
6
Superconductors (Su)<br />
1. Determine how great a current strength a long straight superconducting<br />
tin wire can tolerate without becoming normal at 2 K. The diameter of<br />
the wire is 1 mm.<br />
2. The critical field BC(T) for superconducting tin is determined in a laboratory,<br />
that is, the external magnetic field at which the metal goes normal is<br />
determined as a function of temperature. The following values were found:<br />
T [K] 3.72 3.37 3.27 3.07 2.82 2.50 2.17 1.90 1.52<br />
B C [Tx10 -4 ] 0 54.8 70.0 90.0 129 166 205 227 256<br />
Calculate the value of the critical temperature and the critical field at 0 K<br />
from these values.<br />
7
Facit till fasta tillståndets fysik<br />
Crystal Structure (SC):<br />
1) a) 0.52 b) 0.68 c) 0.74<br />
ρ fcc<br />
2) =1.09<br />
ρbcc 3) oktaedrisk: 0.147a tetraedrisk: 0.0794a<br />
4) 2.86 Å<br />
5)<br />
3<br />
€<br />
4 a<br />
Lattice Dynamic (LD):<br />
1) 12000 m/s<br />
Free Electron Model (FEM):<br />
1) Na: 3.15 eV Li: 4.70 eV Al: 11.66 eV<br />
2) 38 nm<br />
3) 3.65*10 6 V/m 2.14*10 14 A/m 2<br />
4) 8.4*10 -13 Ωm/K<br />
5) a) Na: 1.25; K: 1.24; Rb: 1.26 b) γ=1.75 J/K 2 ,kmol<br />
6) D(ε) = Am e<br />
πh 2<br />
7) 7.3*10 -15 s 15 nm 3.5*10 -5 m/s<br />
8) a) 4.39*10 -24 eV b) 4.30*10 -12 eV c) 0.43 eV<br />
10) 4.2 eV 1.2*10 6 m/s<br />
11) 0.15 J/K 3.31 K<br />
12) 3.45<br />
Semiconductors (SE):<br />
1) µ(300)=0.65 eV µ(0)=0.63 eV<br />
2) 0.22 eV<br />
3) Si: 6.9*10 15 m -3<br />
Ge: 1.6*10 20 m -3<br />
4) 20.8 (Ωm) -1<br />
5) n=1.5*10 18 m -3<br />
6) 0.96 eV 2.7*10 17 m -3<br />
7) 8.41*10 -4 Ωm<br />
8) 10 -3<br />
The p-n Junction (PN):<br />
1) 2.49*10 8<br />
2) 2 mA<br />
3) 47 mA<br />
4) –<br />
Superconductors (Su):<br />
1) 55 A<br />
2) 3.70 K; 30.8 mT<br />
p=3.2*10 20 m -3<br />
8<br />
N d
Kärn- och partikelfysik<br />
1. Härled tidsdilationsformeln, t = γ t′<br />
, där Lorentzfaktornγ ges av<br />
1<br />
γ = .<br />
2<br />
v<br />
1−<br />
2<br />
c<br />
Formeln säger att tiden t för en händelse ter sig längre i ett referenssystem S<br />
jämfört med tiden t' i händelsens vilosystem S', vilket rör sig med hastigheten<br />
v i förhållande till S. Ledning: ljushastigheten c är konstant och oberoende av<br />
referenssystem.<br />
2. Åsa och Gabriel är 20 år. Åsa har just accepterat att åka med den nya<br />
rymdfärjan Protos, som har en topphastighet på 0,99c, till himlens ljusstarkaste<br />
stjärna Sirius. Hur gamla är de två efter att Åsa åkt fram och åter till Sirius som<br />
är 8,7 ljusår från jorden?<br />
3. Härled det relativistiskt korrekta sambandet mellan rörelsemängd p,<br />
vilomassa m 0 och totala massan m = E / c 2 för en partikel i snabb rörelse bort<br />
från oss.<br />
4. En elektriskt laddad π-meson har vilomassan 139,6 MeV/c 2 och dess livstid är<br />
τ = 26 ns (nanosekunder). Hur lång sträcka kan den färdas om dess hastighet är<br />
0,99c? Vad är dess rörelseenergi E k och rörelsemängd p?<br />
5. SPS (Super Proton Synchrotron) är en acceleratorring med 7 km omkrets i<br />
vilken protoner accelereras till 400 GeV. Beräkna magnetiska fältstyrkan B i de<br />
magneter som böjer protonerna. Magneterna antas vara mycket tätt packade<br />
så att fältstyrkan approximativt kan antas vara lika stor längs hela periferin.<br />
6. LHC (Large Hadron Collider) är CERNs nästa stora accelerator som<br />
beräknas stå klar år 2005. LHC kommer att installeras i en existerande 27 km<br />
lång tunnel. Magneter med supraledande lindningar kommer att användas.<br />
Magneterna blir tätt packade och maximala magnetfältet kan anses vara 8 T<br />
(axiellt riktat) längs hela periferin. Vilken är den tillgängliga energi i CMsystemet<br />
(centre of mass system) som kan omvandlas till massa för en<br />
frontalkollision mellan en proton och en antiproton respektive för en kollision<br />
mellan en antiproton och en stillastående målproton?<br />
7. Den atombomb som fälldes över Hiroshima hade en sprängkraft svarande<br />
mot 15 miljoner kg trotyl. Bomben kallades Little Boy, vägde 4 ton och innehöll<br />
50 kg klyvbart uran-235. Vid explosionen omvandlades 1 g massa till energi.<br />
9
Hur mycket uran-235 ”klövs” i sprängningen? Man kan anse att Q-värdet, även<br />
kallad massdefekten, är 184 MeV.<br />
8. Vid Rutherfords upptäckt av protonen användes heliumkärnor (alfapartiklar)<br />
från ett radioaktivt preparat (americium). Energin hos sådana alfapartiklar är<br />
5,34 MeV. Reaktionen var:<br />
4 He + 14 N → p + 17 O<br />
1+ 2 → 3+ 4<br />
I den fotografiska emulsion som användes sågs ett tunt spår efter protonen,<br />
och detta bildade vinkeln θ3 =63º med avseende på alfaspåret. Det tjocka spåret<br />
efter syreisotopen bildade € vinkeln θ4 =27º med alfaspåret. Beräkna protonens<br />
massa med hjälp av vinklarna θ3 och θ4 samt massorna för de tre atomkärnorna<br />
1, 2 och 4, som kan fås med hjälp av Physics Handbook.<br />
9. Hur många elektroner bildas vid passagen av protoner med initialenergin 6<br />
MeV genom en 100 mikrometer tjock Si-detektor? Det åtgår 3,6 eV för att ett<br />
elektron-hålpar skall bildas. Använd range-energy relationerna i Physics<br />
Handbook F-8.6.<br />
10. Beräkna dos (gray) och dosekvivalent (sievert) efter förtäring av 1 liter<br />
mjölk med 300 becquerel från cesium-137. Antag att radioaktivt cesium stannar<br />
3 månader i kroppen (biologisk halveringstid). Den i kroppen (70 kg)<br />
absorberade energin från varje sönderfall kan anses vara 720 keV.<br />
11. Två protoner vars centra är två fermi från varandra attraheras av<br />
kärnkraften och av gravitationskraften och repelleras från varandra av den<br />
elektrostatiska kraften. Beräkna den gravitationella och den elektrostatiska<br />
energin och jämför dessa energier med de 10 MeV som härrör från<br />
kärnkraften.<br />
12. (a) Vad är sannolikheten för att en gevärsskytt skall träffa en ballong med<br />
en träffyta på 0,01 m 2 som slumpmässigt far omkring inuti en svart kub med 1<br />
meters sida? (b) Antag att ovanstående kub fylls med heliumgas vid NTP.<br />
Beräkna sannolikheten att en proton som då skjuts in i kuben skall träffa en<br />
heliumkärna. Ledning: Betrakta protonen och heliumkärnan som hårda klot<br />
med diameter 1 fm respektive 2 fm.<br />
13. Protoner, fotoner och neutriner med energin 1 GeV har mycket olika<br />
kollisionstvärsnitt. Antag att skjuter sådana partiklar mot ett järnmål. Hur<br />
tjockt skall järnet i tänkta mål vara om 1 % sannolikhet skall fås för att<br />
respektive partikel skall kollidera? Tvärsnitten för att protoner, fotoner och<br />
neutriner ska kollidera med en proton eller neutron är ungefär 10 –30 m 2 , 10 –31<br />
m 2 respektive 10 –42 m 2 .<br />
10
€<br />
14. En elektron och en antielektron med olika rörelsemängder kolliderar och<br />
annihilerar varandra. Visa att om en enda foton bildas i kollisionen kan den inte<br />
ensam bära rörelsemängden från båda elektronerna.<br />
15. Bestäm det närmaste avståndet mellan kärnorna i en central kollision mellan<br />
en α-partikel med kinetisk energi 6 MeV och en stillastående 107 Ag-kärna. Gör<br />
samma sak för en 14 N-kärna. Är det rimligt att försumma målkärnans rekyl?<br />
Om inte, ta med rekylen i beräkningen. Har α -partikeln tillräckligt med energi<br />
för att komma inom räckvidden för silver- respektive kvävekärnans starka<br />
kärnkraft?<br />
16. Beräkna bindningsenergierna för 3 H, 3 He, 9 Be och 204 Hg.<br />
17. Den relativa förekomsten av den naturligt radioaktiva isotopen av kalium,<br />
40 −4<br />
9<br />
K, är 1,<br />
2 ⋅ 10 . Halveringstiden för denna isotop är 1, 3⋅<br />
10 år. Kalium är en<br />
viktig beståndsdel av levande celler, och utgör ungefär 0,37 viktprocent av<br />
människans kropp. Beräkna aktiviteten från kalium i en medelperson (ca. 70<br />
kg).<br />
6<br />
18. Ett radioaktivt preparat har vid tiden t=0 aktiviteten 4 ⋅ 10 Bq. En<br />
5<br />
halvtimme senare har aktiviteten minskat till 2, 5 ⋅ 10 Bq. Vad är<br />
halveringstiden för detta preparat?<br />
−<br />
19. Beräkna energin som frigörs i β -sönderfallet C→ N + e + ν e<br />
14<br />
14<br />
.<br />
20. En saltlösning som innehåller 300 kBq 24 Na injiceras i blodomloppet på en<br />
patient. Tio timmar senare är aktiviteten av en kubikcentimeter blod 30Bq.<br />
Beräkna patientens blodvolym.<br />
30<br />
8<br />
21. Solens massa är 2, 0 ⋅10 kg och dess radie är 6, 96 ⋅10 m. Yttemperaturen är<br />
5780 K. Beräkna hur många heliumkärnor som bildas per sekund i solens<br />
kärna, samt totala och relativa massminskningen per år.<br />
22. En konventionell cyklotron med 1,5 m diameter används för att accelerera<br />
protoner till en energi av 15 MeV. Vad ska det magnetiska fältet ha för<br />
flödestäthet (B) och frekvens?<br />
23. Typiska fotomultiplikatorer (PM-rör) har en förstärkningsfaktor på 10 5 , dvs.<br />
för varje elektron som avges av katoden kommer 10 5 elektroner att samlas upp<br />
vid anoden. Antag att PM-röret kopplas till en högimpedansförstärkare med<br />
11
ingångskapacitans 2 pF och förstärkning 10 4 . Hur stor spänningspuls får man<br />
då, om 10 fotoner träffar fotokatoden, vars konversionseffektivitet är 8%?<br />
24. Avgör vilka av följande sönderfall som är tillåtna. För dem som inte är<br />
tillåtna, ange vilken/vilka bevarandelagar eller urvalsregler som inte uppfylls.<br />
För dem som är tillåtna, ange vilken typ av fundamental växelverkan som<br />
leder till sönderfallet.<br />
−<br />
(a) Λ → π + p<br />
−<br />
(b) Λ → K + p<br />
0<br />
(c) π<br />
+ −<br />
→ e + e + ν e + ν e<br />
−<br />
(d) n → p + e<br />
(e) η → γ + γ<br />
+ ν e<br />
(f)<br />
+<br />
+<br />
Δ → n + π<br />
25. Tolka följande sönderfall i kvarkmodellen, dvs rita kvarkdiagram:<br />
(a) π → µ + ν e<br />
−<br />
−<br />
−<br />
(b) n → p + e + ν e<br />
(c)<br />
* +<br />
+<br />
Σ → Λ + π<br />
26. Vad är osäkerhetsvidden i följande partiklars massa?<br />
(a) Λ (1116)<br />
(b) η (549)<br />
+<br />
(c) Σ (1193)<br />
−<br />
(d) Ω<br />
12
1. –<br />
Facit till uppgifter i kärn- och partikelfysik<br />
2. Åsa är 22,5 år och Gabriel är 37,6 år<br />
3.<br />
2 2 2 2 2<br />
2 2 2<br />
m c = p + m0<br />
c eller E = p c +<br />
4. 55,4 m, E k = 851 MeV, p = 981 MeV/c 2<br />
5. B = 1,2 T<br />
6. Kollision: 20,6 TeV, stillastående mål: 139 GeV<br />
7.<br />
24<br />
3⋅ 10 kärnor av 235 U klövs<br />
8. 937,6 MeV/c 2<br />
9. 416 000 elektron-hålpar<br />
10. Dosen är 3,8ìGy och den ekivalenta dosen 3,8ìSv<br />
11. Gravitation:<br />
12. (a) 1%, (b)<br />
−37<br />
− 6 ⋅10<br />
MeV, Coulomb: +0,7 GeV<br />
2 ⋅10<br />
−4<br />
13. protoner: 2 mm, fotoner: 2cm, neutriner: 200 000 mil<br />
m<br />
14. Visas genom att visa att om bara en foton bildas så bevaras inte energin om<br />
man kräver att rörelsemängden bevaras, dvs. beräkna totala relativisktiska<br />
energin före och efter så ser du att den blir olika.<br />
15. 23,4 fm för 107 Ag och 4,32 fm för 14 N, om rekylen tas med i beräkningen.<br />
Annars får man 22,5 fm resp. 3,4 fm. Rekylen kan alltså inte försummas. α -<br />
partikeln kommer inom kärnkraftens räckvidd för 14 N men inte för 107 Ag.<br />
16. 3 H: 8,48 MeV, 3 He: 7,72 MeV, 9 Be: 58,17 MeV, 204 Hg: 1609 MeV<br />
17. 8 kBq om man tar kroppsvikten 70 kg<br />
18. 7,5 minuter<br />
19. 0,156 MeV<br />
20. 6,3 liter<br />
37<br />
17<br />
21. 9 ⋅ 10 per sekund, 1, 35⋅10<br />
kg/år,<br />
22. B = 0,75 T, f = 11 MHz<br />
2<br />
0<br />
13<br />
c<br />
4<br />
6,<br />
75⋅10<br />
−14
23. 64 V<br />
24. a) svag, b) stark, c) svag, d) svag, e) elektromagnetisk, f) stark<br />
25. –<br />
26. a)<br />
2,<br />
5<br />
−6<br />
⋅10 eV, b) 1,1 keV c)<br />
8,<br />
2<br />
−6<br />
⋅10 eV d)<br />
14<br />
8<br />
−6<br />
⋅10 eV