基于拉格朗日粒子动力学方法的群流分割和稳定性分析

基于拉格朗日粒子动力学方法的
群流分割和稳定性分析
报告人:何 雷
2013年4月23日

1
2
3
4
运用背景
技术原理
结果展示
总 结

运用背景
1、智能交通监控:通过对城
市交通车辆的整体监控,检
测各道路车流量大小,对拥
堵区域采用智能调控方法进
行疏导。
北京
2、人群管理:对广场、体育场
和宗教集会地等大量人群出现的
地方进行监控,通过对人群密度
估计和异常行为检测,防范因突
发事件或人群拥挤导致的踩踏事
故。

3、公共场所设计:通过对
人群运动估计,设计出合理
的、易对人群进行疏散的建
筑物,提高建筑物的安全系
数。
4、安全检查:在机场、海关
或其他安检场所,通过对人
群行为智能分析,协助安全
人员预防恐怖袭击或定位跟
踪嫌犯。

5、海洋生物检测:可通过
自动检测设备,在人类难以
进入的深海区域行鱼群检测
或跟踪,从而检测生态环境
的变换。
6、医学图像处理:可
通过群体分析技术实现
对细胞群变化的检测和
分析。
7、鸟群检测:利用群
体动态分析技术实现对
高空飞鸟群体行为分析
等等。

技术原理
输入视频
光流场
Frames Optical Flow Field
dφx dx
dφy dx
dφx dy
dφy dy
Flow Map Gradients
FTLE 场
2
1
0
−1
−2
x 10 −3
0
100
10
90
20
80
30
70
40
60
50
50
60
40
70
30
80
20
90
10
100 0
FTLE Field
Segments at Time t1
不稳定性分析
10
20
30
40
50
60
70
80
粒子流图
Particle Grid Particle Flow Maps
20 40 60 80 100 120 140 160
Segments at Time t2
场分割
Flow Segments

光流场
光流:也可称图像流(image flow),是指两帧图像中亮
度模式的视运动。用来描述多幅灰度图像之间的变化。
O 1
p 1
O 2
p 2
P
p 2
p 1
光流
计算光流的先验知识: 三维空间的物点 P 相对应的图像点
及其附近的灰度变化规律在运动过程中保持不变。

空间物点 P 在 t 时刻, 在图像平面内的投影为(x, y) , 在
t+δt 时刻在图像平面内的投影为 (x+δx, y+δy) ;
假设光照条件不变,场景内该物点在图像内的投影的像素
灰度值不随时间而改变, 令 E 表示图像像素的灰度值:
Exy ( , , t) = E( x+ δx, y+ δ y, t+ δt)
等式右边利用一阶Taylor级数展开:
∂E
∂E
∂E
E ,
∂x
∂y
∂t
( x,
y,
t)
+ δx
+ δy
+ δt
= E(
x,
y t)
用 δt 除以等式两边, 并取极限 δt → 0
∂Edx ∂Edy ∂E
+ + =
∂xdt ∂ydt∂t 0

令
dx dy ∂E∂E∂E uxy ( , ) = , vxy ( , ) = , Ex = , Ey = , Et
=
dt dt ∂x∂y∂t 得到光流约束方程( Optical Flow Constraint Equation):
其中 [u(x, y) v(x, y)] T 表示为该像素点的光流矢量
Pixel (i, j)
I 1
Pixel (i, j)
Eu x + Ev y + Et
=
E y n
E x
0
t 1
I 2
梯度方向和E t
t 2
E x=I 2(i+1, j)-I 2(i, j)
E y=I 2(i, j+1)-I 2(i, j)
E t=I 2(i, j)-I 1(i, j)

在解空间 u-v 平面, 光流的解为一
条直线。直线上任意一点都可能
是所求光流的解。
所求的光流(u,v) 在向量 n上
的投影:
其中:
( , ) ( , )
E E ⋅ u v =−E
x y t
n
=
( Ex Ey)
T
( Ex, Ey)
T
E
x
u + E yv
+ Et
=
0

Horn and Schunck 算法:利用两个速度分量的差分来测定平滑度。
邻域内的光流均值(即邻域内的平均速度值): ,̅
记: Δ u = u −u Δ v= v−v 所谓平滑,即在给定邻域内,使得:
Δ u +Δ v = ( u− u) + ( v−v) 2 2 2 2
达到最小。
采用拉格朗日待定系数法求解,上述问题等效为求解以下问题:
求解(u,v),使得:
ε uxy vxy dxdy Eu Ev E λ u v dxdy
2 2 2 2
( ( , ), ( , )) = [( x + y + t)
+ ( Δ +Δ )]
达到最小。λ 为系数,为一正数,用以控制平滑约束的权重 。

对两个光流变量求偏导数,并令其为零。整理可得松弛算法的
迭代递推公式:
n n
( Eu x + Ev y + Et)
n+ 1 n
u = u −
E
2 2 2 x
λ + Ex + Ey
n n
( Eu x + Ev y + Et)
n+ 1 n
v = v −
E
2 2 2 y
λ + Ex + Ey
uv ,
0 0
u , v
: 邻域内的平均速度值
: 初始值可以选为0
计算时,在一个时间间隔反复迭代,直至满足误差要求。
几何含义:在每一次迭代过程中,新的光流值由其邻域的光流
平均值出发,在此基础上,沿着梯度方向,减去一个调整值,
向光流约束方程代表的直线逼近。

流场建立
1.计算N帧光流场的平均值,获得平均场M(消除高频噪声)。
2.堆叠T个平均场获得一块平均场域。
用T个连续的平均光流场计算流图。

粒子流图
将群流视为周期性动力学系统
动力学系统的一般表达形式:
xtt
(;
0, x0) = vxtt ( (; 0, x0), t)
xtt
(; 0, x0) = x
随着时间的推移,方程的解沿其轨迹流动。设定初始时刻 和 t
最终时刻,那么定义流图 φ ,表示某点从到的运动轨迹: φ : D→ D: x
φ ( x ) = x( t; t , x )
t t
t 0 t 0 0 0
0 0
t
0

流图满足以下性质:
t
φ ( x) = x,
0
0
t
t+ s t+ s s t+ s t
φ ( x) = φ ( φ ( x)) =
φ ( φ ( x)).
t s t t t
0 0 0
流图是指一段时间内所有粒子的运动轨迹的集合。由于光流场
仅表示粒子的瞬时位置和运动速度,T帧光流场组成了不连续
的流图。

需要采用插值法计算连续的运动轨迹。
算法使用四阶Runge-Kutta-Fehlberg和cubic interpolation
x=
f(, t x)
xa
( ) = x0
16 6656 28561 9 2
xt ( + h) = xt ( ) + K1+ K3 + K4 − K5 + K6
135 12825 56430 50 55
K1=
hf(, t x)
1 1
K2 = hf( t+ h, x+ K1)
4 4
3 3 9
K3
= hf( t+ h, x+ K1+ K2)
8 32 32
12 1932 7200 7296
K4
= hf( t+ h, x+ K1− K2 + K3)
13 2197 2197 2197
439 3680 845
K5
= hf( t+ h, x+ K1− 8K2
+ K3
− K4
)
216 513 4104
1 8 3544 1859 11
K6 = hf( t+ h, x− K1+ 2 K2 − K3 + K4 − K5)
2 27 2565 4104 40
25 1408 2197 1
xj+ 1 = xj + K1+ K3 + K4 − K5
216 2565 4104 5

Tricubic interpolation in three dimensions
用向量表示64个插值系数
f x, y, z
,
for all i, j, k ∈ 0,1,2,3
,,
, ,
, , , ,
f x, y, z
,,

B
det B 1
:http://gyre.cds.caltech.edu/pub/software/tricubic/doc

流图结果:

FTLE场
1961年冬季的一天,为了考察一条更长的序列,洛伦兹走了一
条捷径。他在进行天气模式计算时没有从头开始运行,而是从
中途开始。作为计算的初值,他直接输入了上次运算的输出结
果,然后他穿过大厅下楼,清净的去喝一杯咖啡。一个小时之
后他回来时,看到了出乎意料的事。从几乎相同出发点开始,
洛伦兹看到他的计算机产生的天气模式差别愈来愈大,终至毫
无相似之处。就是这件事播下了一门新科学的种子。

李亚普诺夫指数公式
两个系统:
设其初始值微小误差 ,经过一次迭代以后有:
由第二次迭代得:
经过n次迭代得:
xn+ 1 = f ( xn)
y = f( y )
n+ 1 n
f( x ) − f( y ) df
x − y = f( x ) − f( y ) = x −y ≈ x x − y
0 0
1 1 0 0
x0 − y0 0 0
dx 0 0 0
每次迭代平均分离值为:
df df df
x −y ≈ x −y ≈ x − y
0 1
dx dx dx
2 2 x1 1 1 x x 0 0
n−1
df ( xn,
μ)
xn − yn ≈ ∏ x x − y
n
n=
0 dx
1/ n
n−1
df
∏xn n=
0 dx
0 0
df
x
=
lim
f ( x ) − f( y )
0 0
−
0 dx x0→y0 x y
0 0

两个系统如初始值存在微小误差,随时间产生分离,分离程度
常用李亚普诺夫指数来度量,它为几何平均值的对数:
n−1
df ( xn,
μ)
∏
xn
n=
0
1
λ = ln
n dx
式中的为第次迭代值。取 →∞,得李亚普诺夫指数计算公
式:
n−1
1 df ( xn,
μ)
λ = lim ln
n→∞
n dx
n=
0
利用李亚普诺夫指数 ,相空间内初始时刻的两点距离将随时间
(迭代次数)作指数分离:
x − y ≈ x − y ⋅exp( n⋅λ) n n
0 0

FTLE场的计算
假设和是初始时刻相邻的两个粒子, ,其中 表示两粒子初始时刻的偏移量,经过一段时间后两粒子的偏移量
变为:
t0+ T
dφt( x)
t 2
0+ T t0+ T
0
δ( t0 + T) = φt ( y) − φ ( ) (
0 t x = δ t
0
0) + ο( δ(
t0)
)
dx
2
其中 ο( δ(
t0)
) 是极小值,可以舍去,则该偏移量的幅度为:
t0+ T t0+ T t0+ T ∗ t0+ T
dφt ( x) dφ ( ) ( ) ( )
0 t x dφ 0 t x dφ 0 t x
0
δ( t0 + T) = δ( t0), δ( t0) = δ( t0), δ(
t0)
dx dx dx dx
t + T ∗ t + T
dφ ( x) dφ ( x)
0 0
t0 t0
式中 Δ=
dx dx 为有限时间的Cauchy-Green应变张量,上式可
化为:
δ( t + T) = δ( t ), Δδ(
t )
0 0 0

T = 98
T = 98
dφx dx
dφy dx
T = 98
T = 98
dφx dy
dφy dy

只有当 ∆ 的最大特征值对应的特征向量与 δ 方向一致时,
取最大值,表示为:
max δ( t + T) = δ( t ), λ ( Δ ) δ( t ) = λ ( Δ)
δ(
t )
0 0 max 0 max 0
其中, (∆)是∆的最大特征值。
ln λ ( Δ)
0 max 0 0
max
max δ( t + T) = λ ( Δ ) δ( t ) = e δ(
t )
T
max Δ
σ
0
ln λ ( )
t ( x) T
e δ t0 = e δ t0
( ) ( )
T 1
σt( x)
= ln
0 T
λmax
( Δ)
上式即为FTLE的定义公式,表示经过时刻后两粒子的聚合或
发散程度。如果 0,则两粒子是发散的,如果 0, 则两粒子保
持相对位置不变,如果 0,说明两粒子是聚合的。

2
1
0
−1
−2
x 10 −3
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100

场分割
1、全局分割(Normalized Cuts and Image Segmentation)
2
1
0
−1
−2
x 10 −3
0
10
20
30
40
2、合并相似片段
50
60
70
80
90
100 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100

k
w =
d
Normalized Cuts and Image Segmentation
1. 点集在一个任意的特征空间中可表示为一个无方向性的加权图。
2. 每条边的权重 , ,是一个关于节点 和相似度的函数。
3. 计算两个分割片段的不相似度作为边的总权重:
导致缺陷:
cut( A, B) = w( u, v)
u∈A, v∈B k
w =
d

改进方法:
cut( A, B) cut( A, B)
Ncut( A, B)
= +
assoc( A, V ) assoc( B, V )
分割算法:
1. 给出一副图像或图像系列,建立相应加权图 ,,设置
两个节点边的权重,用来测量两个节点的相似度。
2. 求解 最小特征值的特征向量。
di () =
wi (, j)
j
d1
d
2
D =
对称阵 , dN
3. 使用第二个最小特征值的特征向量分割图。
4. 决定目前分割得到的图是否需要进一步分割,如果有必要则进
一步递归分割图。

合并相似片段
,是相邻的两片段,,是,中的粒子集,拥有共同的边界。 ,粒子集的尺寸分别为, 。
1 dt ( )
m n 1 1 di, j()
t
χ () t = ln lypdiv( s
t d(0)
1, s2)
= ln
mn t d (0)
设定阈值threshold,通过以下法则合并相似片段:
yes,
lypdiv( s1, s2) ≤ threshold
merge =
no,
others
i= 1 j= 1 i, j

不稳定性分析
1、检测流场片段数目的变化。
2、FTLE场是否产生新的拉格朗日相干结构(LCS)。
3、在新的流场片段中,定位流场动力学性质变化的地方。
t 0
Correspondence between flow segments.
t 1

结果展示

0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
−2
−1
0
1
2
x 10 −3

10
20
30
40
50
60
70
80
20 40 60 80 100 120 140 160

总结
高密度群体流视频分割方法
拉格朗日粒子动力学
获得一段时间内完整运动信息的一种方法
群流的不稳定性分析
不能进行实时处理,优化各个过程的算法,以期提高速度。
提高群流不稳定性检测精度,将单个粒子的性质合并到流
场片段的空间表达式中。