Model Predictive Control

11.4 State Feedback Solution of RHC, 2-Norm Case 211
⎡ 0.00 −1.00 ⎤ ⎡ 0.00 0.00 ⎤
0.00 1.00 0.00 0.00 ⎡ 1.00 ⎤
⎢ 0.00 0.00 ⎥ ⎢ 1.00 1.00 ⎥ 1.00
⎢ −1.00 0.00 ⎥ ⎢ −1.00 −1.00 ⎥ ⎢ 10.00 ⎥
⎢ 0.00 0.00 ⎥ ⎢ −1.00 −1.00 ⎥ ⎢ 10.00 ⎥
⎢ 1.00 0.00 ⎥ ⎢
⎢ −1.00 0.00 ⎥ ⎢ 1.00 1.00 ⎥ ⎢ 10.00 ⎥
⎢ −1.00 −1.00 ⎥ ⎢ 0.00 0.00 ⎥ ⎢ 10.00 ⎥
⎥ ⎢ −1.00 −1.00 ⎥ ⎢ 10.00 ⎥
⎥ ⎢ 10.00 ⎥
⎢ 1.00 0.00 ⎥ ⎢ 0.00 0.00 ⎥ ⎢ 10.00 ⎥
⎢ 1.00 1.00 ⎥ ⎢ 1.00 1.00 ⎥ ⎢
⎢ 0.00 0.00 ⎥ ⎢ 1.00 1.00 ⎥ ⎢ 10.00 ⎥
⎢ −1.00 0.00 ⎥ ⎢ −1.00 −1.00 ⎥ ⎢ 5.00 ⎥
⎢ 0.00 0.00 ⎥ ⎢
G0 = ⎢ 1.00 0.00 ⎥ ⎢ −1.00 −1.00 ⎥ ⎢ 5.00 ⎥
⎥ ⎢ 5.00 ⎥
⎢ −1.00 0.00 ⎥ , E0 = ⎢ 1.00 1.00 ⎥
⎥ ⎢ −1.00 −2.00 ⎥ , W0 = ⎢ 5.00 ⎥
⎢ 1.00 ⎥
⎢ 1.00 0.00 ⎥ ⎢ 1.00 2.00 ⎥ ⎢ 1.00 ⎥
⎢ 0.00 0.00 ⎥ ⎢ 1.00 0.00 ⎥ ⎢ 10.00 ⎥
⎢ 0.00 0.00 ⎥ ⎢ 0.00 1.00 ⎥ ⎢ 10.00 ⎥
⎢ 0.00 0.00 ⎥ ⎢ −1.00 0.00 ⎥ ⎢
⎢ 0.00 0.00 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 10.00 ⎥
⎢ 0.00 0.00 ⎥ ⎢ 0.00 −1.00 ⎥ ⎢ 10.00 ⎥
⎢ 0.00 0.00 ⎥ ⎢ 1.00 0.00 ⎥ ⎢ 5.00 ⎥
⎢ 0.00 0.00 ⎥ ⎢ 0.00 1.00 ⎥ ⎢ 5.00 ⎥
⎥ ⎢ −1.00 0.00 ⎥ ⎢ 5.00 ⎥
⎢ 0.00 0.00 ⎥ ⎢ 0.00 −1.00 ⎥ ⎢ 5.00 ⎥
⎣ −1.29 −0.93 ⎦ ⎢ ⎥
1.29 0.93 ⎣ −0.93 −0.93 ⎣ 0.58 ⎦
⎦ 0.58
0.93 0.93
1.41 0.70
1.90
0.70 0.70
−1.41 −0.70
1.90
−0.70 −0.70
(11.36)
The corresponding polyhedral partition of the state-space is depicted in Fig. 11.6(b).
The RHC law is:
⎧
⎪⎩
[ −0.61 −1.61 ] x if
1.00 if
1.00 if
⎪⎨
1.00 if
u =
− 1.00 if
− 1.00 if
− 1.00 if
[ −0.45 −1.44 ] x − 0.45 if
[ −0.45 −1.44 ] x + 0.45 if
⎡
⎣
⎡
⎢
⎣
⎡
⎣
1.00 0.00
−1.00 0.00
−0.36 −0.93
0.36 0.93
0.71 0.70
−0.71 −0.70
1.00 0.00
−1.00 0.00
−0.71 −0.71
−0.21 −0.98
0.21 0.98
−0.32 −0.95
0.27 0.96
0.29 0.96
1.00 0.00
−1.00 0.00
−0.27 −0.96
−0.45 −0.89
0.36 0.93
⎤
⎡
⎦ x ≤ ⎣
⎤
⎡
⎥ ⎢
⎦ x ≤ ⎣
⎤
⎡
⎦ x ≤ ⎣
5.00
5.00
0.58
0.58
1.90
1.90
5.00
5.00
3.54
1.67
⎤
−0.98
1.79
−1.13
−0.36
5.00
5.00
1.13
1.65
−0.58
−1.00 0.00 5.00
−0.21 −0.98 x ≤ 0.98
0.45 0.89
−1.65
⎡
⎣
−0.29 −0.96
1.00 0.00
−1.00 0.00
0.27 0.96
0.45 0.89
−0.36 −0.93
⎤
⎡
⎦ x ≤ ⎣
−0.36
5.00
5.00
1.13
1.65
−0.58
1.00 0.00 5.00
0.21 0.98 x ≤ 0.98
−0.45 −0.89
−1.65
⎡
⎢
⎣
1.00 0.00
−1.00 0.00
0.71 0.71
−0.21 −0.98
0.21 0.98
0.32 0.95
−0.27 −0.96
⎤
⎡
⎥ ⎢
⎦ x ≤ ⎣
5.00
5.00
3.54
−0.98
1.67
1.79
−1.13
1.00 0.00 5.00
0.29 0.96 x ≤ 0.36
−0.71 −0.70
−1.90
−1.00 0.00 5.00
−0.29 −0.96 x ≤ 0.36
0.71 0.70
−1.90
⎦ (Region #1)
⎤
⎥
⎦ (Region #2)
⎤
⎦ (Region #3)
⎤
(Region #4)
⎦ (Region #5)
⎤
(Region #6)
⎥
⎦ (Region #7)
(Region #8)
(Region #9)
The union of the regions depicted in Fig. 11.6(b) is X0. Note that from Theorem 11.2