多尺度頻譜熵œ.. - 吳順德教授

中國機械工程學會第二十八屆全國學術研討會論文集 國立中興大學 台中市
中華民國一百年十二月十日、十一日 論文編號: X00-001
多尺度頻譜熵在軸承異常監控與診斷之應用
王俊傑 1
、吳求文 2
、吳順德 2
、李易宗 2
、吳豐泰 3
1
工業技術研究院 機械與系統研究所 智慧系統工程技術組
2
國立台灣師範大學 機電科技學系
摘要
近幾年來,利用複雜度的觀念來分析機械系統
的異常行為已慢慢獲得學者的重視。在本論文中,我
們提 出多尺度 頻譜熵 的觀念 , 並以Case Western
Reserve University所提供的軸承震動訊號為例,探討
機械系統在不同運轉狀態下多尺度頻譜熵的變化情
形,以作為將來發展軸承異常即時監控系統的依據。
關鍵字: 多尺度頻譜熵、機械震動、即時監控系統、
錯誤自動診斷系統
1. 前言
機械健康狀態監控系統的研究與開發一直是學
界相當重視的問題。機械健康狀態系統的主要架構是:
量測系統運作時所產生的震動訊號,並從這些震動訊
號中抽取特徵,再以這些特徵來判斷系統是否屬於正
常運作。傳統的特徵抽取方法主要是以震動訊號的頻
譜或統計特性為主。過去幾年來,以亂度或複雜度的
演算法漸漸被引進此一研究領域並有不錯的成果,這
些方法包括Approximate Entropy[1] 、 Lempel Ziv
Complexity[2][3]、Recurrence Plot Entropy[4]、Spectral
Entropy[5][6] 、 Wavelet Entropy[7] 、 Bispectrum
Entropy[8] 、 Pattern Spectrum Entropy[9] 、 Hilbert
Huang Entropy[10]、Multiscale Entropy[11][12]等。
機械系統在不同的『健康』情形下運轉,其震動
訊號的頻譜會有所不同,因此以頻譜為基礎的複雜度
演算法頻譜熵(Spectral Entropy)[5][6]大致可以表現
機械系統的健康情形。然而,在實務的應用上,不同
異常狀態的震動訊號可能具有相似的頻譜熵,因此,
利用單一的頻譜熵當特徵來辨識各種異常狀態有其
困難性。為了改善這項缺點,本論文參考Multiscale
Entropy[11][12] 的概念提出了多尺度頻譜熵
(Multiscale Spectral Entropy, MSSE)演算法,透過計算
訊號在不同尺度時的頻譜熵,讓不同特性的訊號可以
更容易被區分出來。在本論文中,我們將MSSE應用
於軸承故障訊號的特徵抽取上,實驗結果證明MSSE
確實可以用來分辨出正常與異常狀態的震動訊號。
Email: sdwu@ntnu.edu.tw
3
逸奇科技股份有限公司
本論文的架構如下:第2節簡介MSSE演算法以
及其計算複雜度;第3節則是以模擬訊號來了解MSSE
的特性,同時探討MSSE在軸承異常監控應用上的可
行性;第四節則是給出本論文的結論。
2.1 熵(Entropy)
2. 多尺度頻譜熵
對一個隨機變數 而言,其熵 的定義如下:
∑ (1)
其中 為隨機變數 的機率密度函數,log是以
2或是自然對數e為底的對數。
由公式(1)可知,假設時序訊號長度為N,若訊號
為常數數列,則對某一個i, ,因此 ;
若訊號為均勻分佈(uniform distribution)的雜訊,則對
所有的i, ⁄ ,因此 ,一個時序
訊號的熵值介於 0 與 之間。
2.2 頻譜熵
考慮一個長度為2N的時序信號 [ ],
將 x 做離散傅立葉轉換(Discrete Fourier Transform,
DFT)後可求得x的頻譜。令 代表訊號 x 在頻率
時的強度,其中
, , 為訊號 x
的取樣頻率。則時序訊號 x 的頻譜熵 的定義如
下:
∑ ̂ ̂
(2)
其中 ̂ 稱為頻譜密度(Power Spectrum Density,
PSD),定義如公式(3)所示:
̂
∑
(3)
長度2N的時序訊號,其DFT值也有2N個,但是由
於 是一個對稱函數,因此在計算頻譜熵時我們
只須用到一半,也就是N個值即可。

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從公式(2)中我們可以得知,若x為單一頻率的弦
波,其頻譜熵為0;若x為白雜訊,則頻譜密度在各頻
率均為
。
,利用公式(2),可以得出白雜訊的頻譜熵為
一訊號x的頻譜熵值介於0與 之間,訊號的
頻譜熵值會隨資料長度而改變,為了改善這個現象,
可以利用公式(4)將頻譜熵的值正規化得到 ,正
規化後的頻譜熵值將介於0與1之間。
2.3 多尺度頻譜熵
頻譜熵是透過一個特殊的非線性函數將訊號的
頻譜密度函數映射成一個實數,因此不同的頻譜分佈
可能會得到相近似的熵值,例如:在取樣頻率為
1000Hz,取樣長度N為10000的條件下,white noise
的頻譜熵為0.9837,而 f noise的頻譜熵為 0.9707,
雖然這兩種雜訊的頻譜分佈差異甚大(如圖一),可是
計算出來的頻譜熵卻很相近。為了改進這個缺點,在
本 論 文 中 , 我們提出了 多 尺 度 頻 譜 熵 (Multiscale
Spectral Entropy, MSSE)的觀念。MSSE的基本概念是
將高頻的成分逐次地從訊號中濾除,再計算其頻譜熵,
尺度越大,訊號所含的成分越少,因此,MSSE可以
視為一種估計訊號頻譜分布情況的演算法。MSSE的
演算法如下:
1. 對訊號x進行DFT,並令尺度因子 。
2. 計算尺度 的頻譜密度
̂
[
∑
3. 以下列公式計算尺度 的頻譜熵
4. 頻譜熵正規化
∑ ̂ ( ̂ ) [
5. 尺度因子 加1,重複步驟2-5.
(
)
]
(4)
圖二為white noise 與 f noise 的多尺度頻譜熵,
f noise 的頻譜熵會隨尺度的變大而變小,但是white
noise 的頻譜熵幾乎不隨尺度因子 的改變而有所變
化。由以上的例子可知,MSSE可以提供比頻譜熵更
多訊號的資訊。
2.4 演算法的計算複雜度
]
為了評估MSSE在即時監控應用上的可行性,我
們對它進行演算法複雜度的分析。MSSE與頻譜熵的
演算法計算步驟及相對應的計算複雜度如下所示:
1. 計算訊號x的DFT 。這個步驟以快速傅
立葉轉換(FFT)來完成,計算的複雜度為
。
2. 以公式(3)計算頻譜密度 ̂ ,其計算複雜
度為 。
3. 以公式(2)計算頻譜熵,其計算複雜度為
。
從以上的分析可知,頻譜熵的計算複雜度為
,MSSE亦然。
與另一種近來被用來作為機械錯誤診斷特徵的
多尺度熵(MultiScale Entropy)演算法[11][12]相較,
MSSE的計算複雜度 比MSE的計算複雜度
小,運算的時間比較少,在即時監控的應用上,
MSSE將比MSE更具可行性。
3. 實驗結果
在本節中,我們先以模擬訊號來探討MSSE的特
性,再以CWRU的軸承震動訊號[13]為例,來探討
MSSE在軸承故障監控應用上的可行性。
3.1 模擬訊號
本實驗的模擬訊號如下:
其中 、 、 分別是 350、1100及 2500Hz,
為white noise,k為白雜訊的增益,訊號的取樣頻率
為12000Hz,資料長度為20000。
圖三為 的MSSE,當k = 1時,雜訊佔 的
比重較 k = 0.1時大,因此訊號特性比較像是white
noise,MSSE在各尺度的值都會明顯偏高。除此之外,
我們發現尺度3的MSSE比尺度2大,原因是尺度2採用
0~3000Hz的頻譜密度來計算頻譜熵,而尺度3僅用
0~2000Hz的頻譜密度來計算頻譜熵,在計算 尺度
3的頻譜熵時, 這個成分會被移除,故尺度
3會比尺度2更接近white noise,頻譜熵因而增加,同
樣地,尺度6的頻譜熵比尺度5大,這是因為尺度6移
除了 的關係,當尺度大於18時, 的
成分也被移除了, 只剩下white noise 的成分,因
此頻譜熵會非常接近1。
3.2 軸承故障資料
本實驗的資料取自CWRU Bearing Data Center,
軸承異常發生的位置分別是位於驅動端(drive end,
DE)與風扇端(fan end, FE);軸承的異常狀態包含內圈
缺陷(inner race fault, IR)、滾珠缺陷(rolling element
fault, Ball)、外圈缺陷(outer race fault, OR),外圈缺陷
又依缺陷所在的位置(3點鐘方向、6點鐘方向、12點
鐘方向)分為三個次類別;每一種異常狀態,均考慮

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缺陷7 mil、14mil、21mil以及28mil等四種不同大小的
孔洞。馬達的轉速有1730、1750、1772以及1797 rpm
等。
驅動端與風扇端均放置加速規量取系統運轉時
的震動訊號。系統在正常(Normal)的狀態運轉時,取
樣頻率是48000Hz;而在軸承發生異常時,訊號的取
樣頻率降為12000Hz。由於取樣頻率會影響MSSE的
計算,因此,當我們在計算Normal 訊號的MSSE時,
先以低通濾波器濾除6000Hz以上的成分,然後進行減
少取樣(down sampling) 將訊號的取樣頻率降為
12000Hz。
在本實驗中,我們僅考慮故障是發生在DE的情
形,震動訊號是由位於DE的加速規量測到的。圖四
為轉速為1730rpm的震動訊號的頻譜分佈圖, (a)-(f)
分別代表是 normal, rolling element fault, inner racing,
outer racing 3點鐘方向、outer racing 6點鐘方向、outer
racing 12點鐘方向等不同的異常狀態。
圖五是在轉速1730rpm下,各種異常震動訊號的
MSSE值。從圖五中,我們發現normal 狀態的震動訊
號的MSSE具有以下兩個特徵:
1. 在尺度1時,normal 狀態的頻譜熵會比異常
狀態的頻譜熵大,這是因為normal的震動量
相對比較小,雜訊成了震動訊號的主要成分,
因此頻譜熵會比較接近1。當機械出現異常,
某些固定的頻率會被強化,訊號會比較有『秩
序』,頻譜熵因此變小。
2. 由於 normal 的頻譜中有一個能量相對較大
360.07Hz的成分(圖六),在計算尺度16的頻譜
熵(0~375Hz)時會考慮此成分,但計算尺度17
的頻譜熵(0~352.9Hz)時則否,尺度17會比尺
度16更接近白雜訊,因此尺度17的頻譜熵會
比尺度16的頻譜熵大。
圖七-圖九分別為在轉速1750、1772及1797rpm
下,各種不同異常狀態的震動訊號的MSSE圖,其
normal 狀態的震動訊號的MSSE也都具有相同的特
徵。另外,各種不同異常狀態震動訊號的MSSE也都
有不同形態,因此,以MSSE為特徵,搭配機器學習
(Machine Learning)理論,來建構『異常狀態自動診斷
系統』的可行性相當高。
在資料量測的過程當中,訊號會受到雜訊的汙染,
雜訊的來源可能是加速規本身或是背景雜訊。因此,
在計算MSSE之前可以對震動訊號進行雜訊濾除的步
驟,但是,經過雜訊濾除的訊號與未經雜訊濾除步驟
的訊號,其MSSE值會呈現完全不同的行為模式,因
此,在使用MSSE分析震動訊號時必須特別注意雜訊
的問題。
4. 結論
在本論文中,我們提出了MSSE的觀念並將它應
用到軸承故障監控與診斷上,實驗結果顯示,MSSE
可以有效區分出正常與異常震動訊號的差異,因此,
以MSSE為基礎的異常狀態診斷系統是可行的。除此
之外,MSSE的計算複雜度低( ),因此也非
常適合用來實現『及時機械狀態監控系統』。
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Expert Systems with Applications, Vol.37, pp.

中國機械工程學會第二十八屆全國學術研討會論文集 國立中興大學 台中市
中華民國一百年十二月十日、十一日 論文編號: X00-001
7200-7204, 2010.
13. Case Western Reserve University Bearing Data
Center Website,
http://www.eecs.case.edu/laboratory/bearing/welco
me_overview.htm
6. 圖表範例
(a)
(b)
圖一: (a)whit noise 的頻譜分佈;
(b)f noise的頻譜分佈
圖二 (a)whit noise 與 f noise的MSSE
圖三: 的
MSSE
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
圖四:(a) 正常狀態震動訊號的頻譜分佈圖
(b) 滾珠缺陷震動訊號的頻譜分佈圖
(c) 內圈缺陷震動訊號的頻譜分佈圖
(d) 外圈缺陷(3點鐘方向)的頻譜分佈圖
(e) 外圈缺陷(6點鐘方向)的頻譜分佈圖
(f) 外圈缺陷(12點鐘方向)的頻譜分佈圖
圖五:不同健康狀態的 MSSE (轉速為1730rpm)

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圖六:正常狀態震動訊號的頻譜分佈圖(1730轉)
圖七:不同健康狀態的震動訊號的 MSSE
(轉速為1750rpm)
圖八:不同健康狀態的震動訊號的 MSSE
(轉速為1772rpm)
圖九:不同健康狀態的震動訊號的 MSSE
(轉速為1797rpm)
Multiscale Spectral Entropy As a
Tool for Bearing Health Monitoring
C. C. Wang 1
, C. W. Wu 2
, S. D. Wu 2
, Y. Z. Li 2
1
and F. T. Wu 3
Intelligent System Engineering Division,
Mechanical and System Research Laboratories,
Industrial Technology Research Institute,
2
Department of Mechatronic Technology,
National Taiwan Normal University
Email: sdwu@ntnu.edu.tw
3
AnCad Inc.
Abstract
Entropy based algorithms have been applied to design
the fault diagnosis system for rotary machine in recent
years. In this paper, a new entropy based algorithm
called multiscale spectral entropy is proposed to extract
the features of vibration signal measured from
mechanical system with different healthy conditions.
Bearing fault data sets provided by Case Western
Reserve University (CWRU) have been used to verify
this proposed algorithm. Experimental results
demonstrate the feasibility of the proposed MSSE
algorithm.
Keywords: Fault Diagnosis System, Multiscale Spectral
Entropy.