On the Characters and the Plancherel Formula of Nilpotent Groups ...

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280 PUKANSZKY ACKNOWLEDGMENT The author is indebted to B. Kostant for stimulating conversations on the subject. REFERENCES 1. CARTIER, P., Seminaire Sophus Lie, Paris, 1955. 2. HARM-I-CHANDRA, Differential operators on a semisimple Lie algebra. Am. 1. Math. 79 (1957), 87-120. 3 KIRILLOV, A. A., Unitary representations of nilpotent groups. usp. Mat. Nauk 17 (1962), 57-110. 4 PUKANSZKY, L., “Le9ons sur les representations des groupes.” Dunod, Paris, 1967.
JOURNAL OF FUNCTIONAL ANALYSIS 1, 281-289 (1967) Sur les Vecteurs SCparateurs des Alg5bres de von Neumann MICHEL BROISE C.N.R.S., Paris Communicated by J. Dixmier Received April 17, 1967 Le but de cet article est la demonstration du theoreme 1 et des diverses propositions qui s’y rattachent. THBORBME 1. Soient J%’ et %” deux algbbres de Von Neumann dans un espace de Hilbert H. On suppose que 27 est commutative de genre dhombrable et que tout vecteur skparateur de .Z est vecteur skparateur de sk’ et inversement. Alors sl = 3. Ce probleme m’a CtC pose, pour &’ et 3’ commutatives et maximales, par J. M. Jauch et B. Misra. J’ai d’abord etabli le thCor&me 1 dans ce cas. B. Misra m’a fait remarquer que le theoreme restait vrai pour & et B commutatives quelconques (son argument est signal6 dans la demonstration du theoreme 1, il est aussi utilise dans la demonstration de la proposition 1). J’ai enfin Ctabli le theoreme 1 en general. Un resume est paru dans les Comptes Rendus de 1’AcadCmie des Sciences de Paris. NOTATIONS ET RAPPELS DIVERS Soient d une algebre de Van Neumann dans un espace de Hilbert H, p et q deux projecteurs de &, x un Clement de ~2, .$ et r] des elements de H et tn et n deux sous-ensembles de H. On note x(H) le sous espace vectoriel form6 par les x(t), lorsque .$ parcourt H et x(H) l’adherence dans H de x(H). Si m et tt sont des sous-espaces vectoriels, on note m v n le sous- espace vectoriel engendre par m et n. De m&me, on note p v q le projecteur (hermitien) sur le sous-espace p(H) v q(H); c’est le plus petit projecteur de & majorant p et q. On note E(&‘, 5) le projecteur sur le sous-espace vectoriel ferme de H engendre par les vecteurs 281
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