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动力系统定义以及分类 - 南京大学天文系

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《非线性动力学引论》<br />

第三讲<br />

动力系统简介<br />

<strong>南京大学天文系</strong>周济林<br />

zhoujl@nju.edu.cn


1、动力系统的分类<br />

什么是动力系统?


dx<br />

dt =<br />

f<br />

( x , t , ε )<br />

x ' =<br />

g ( x , ε )<br />

ε为参数


例:单摆


保守系统是指相流可压缩系统,耗散系<br />

统是相流不可压缩系统。<br />

D<br />

g t D


Liouville定理:<br />

对于动力系统<br />

dx<br />

dt<br />

=<br />

f( x, t)<br />

设g t 为其相应的相流(单参数变换群):<br />

g t (x)=x+f(x)t+O(t 2 ), (t 0)<br />

设D(0)为x空间的一个区域,V(0)为其体积,<br />

D(t)=g t D(0), V(t)为D(t)的体积,若<br />

div f =0 (无源无汇)<br />

则相流g t 保体积:V(t)=V(0).<br />

证明:<br />

根据多重积分的变量变换公式:


V ( t)<br />

∫ det<br />

∂g<br />

( x)<br />

D(<br />

0)<br />

∂x<br />

= dx<br />

由公式: g t (x)=x+f(x)t+O(t 2 ), (t 0) 得<br />

由<br />

于:<br />

故:<br />

求导:<br />

故<br />

∂<br />

g t<br />

) ( x<br />

∂x<br />

= E +<br />

∂f<br />

∂x<br />

t<br />

+<br />

t<br />

:<br />

( )<br />

2<br />

O t<br />

∂f<br />

2<br />

det | E At| 1 ( trace ∂x<br />

) t O( t ),<br />

t<br />

(t 0)<br />

+ = + + (t 0)<br />

∂g ( x) = + trace<br />

∂f<br />

t + O t<br />

2<br />

∂x ∂x<br />

det 1 ( ) ( )<br />

V t trace t O t dx<br />

( ) = ∫<br />

D (0)<br />

[1 + (<br />

∂ f<br />

∂ x ) + (<br />

2<br />

)]<br />

dV ( t)<br />

dt<br />

trace ∂<br />

= ∫<br />

D<br />

(0)<br />

∂ f<br />

( trace ) dx<br />

∂ x<br />

f<br />

∂ x 0 = dV ( t)<br />

dt<br />

=<br />

0


对于<br />

令:<br />

dx<br />

dt<br />

=<br />

f( x, t)<br />

一个连续的动力系统是保守系统的充要条件是


x'=<br />

1+<br />

y'=<br />

bx<br />

y<br />

−<br />

ax<br />

Det(B)=-b, 当|b|=1时为保守系统,否则为耗散系统。<br />

2


动力系统的其它分类:<br />

1、确定性与随机系统 (方程是否含有随机项)<br />

2、自治与非自治系统 (右端f是否显含时间)<br />

3、可逆与不可逆系统<br />

可逆:x(t)唯一得到x(t-1). 只要任一轨道不并合,<br />

就是可逆系统。连续的确定性流总是可逆的。映射系<br />

统则未必。从一个流得到的映射总是可逆的。保守映<br />

射可逆的。只要映射的Jacobi行列式不为零,该映射<br />

是可逆的。<br />

4、其他 ,如:随机性( K系统、C系统)


2、离散动力系统与连续动力系统的转换


Poincare截面示意图<br />

对两自由度哈密顿系统H(x ,x ,y ,y ), 因演化中能量守恒H(x ,x ,y ,y ) =E,<br />

2 2 1 1 2 2<br />

1 2 1 2 1 2 1 2<br />

可解得:x =x (x ,y ,y ,E),取截面:y =0,则轨道在该截面的交点<br />

可以反映原轨道的特性,该截面称为poincare截面。


Henon & Heiles, Astronomical Journal, Vol. 69, p. 73 (1964)


3、动力系统的相空间重构技术<br />

设动力系统<br />

<br />

d x<br />

dt<br />

=<br />

<br />

f ( x )<br />

是m维的。在某些情况下,我们不知道上述运动方程,只<br />

能通过观测得到由该x确定的一个力学量的时间变化序<br />

列:<br />

<br />

g<br />

( t ) = G ( x ( t<br />

如何来通过这一序列了解原动力系统的一些特性<br />

(包括相空间维数、拓扑性质)?<br />

))


可以定义一个迟豫坐标(delay coordinate)向<br />

量:<br />

]<br />

)<br />

1<br />

(<br />

[<br />

)<br />

(<br />

......<br />

)<br />

2<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

3<br />

2<br />

1<br />

τ<br />

τ<br />

τ<br />

−<br />

−<br />

=<br />

−<br />

=<br />

−<br />

=<br />

=<br />

n<br />

t<br />

g<br />

t<br />

y<br />

t<br />

g<br />

t<br />

y<br />

t<br />

g<br />

t<br />

y<br />

t<br />

g<br />

t<br />

y<br />

n<br />

由于:<br />

))<br />

(<br />

(<br />

]<br />

)<br />

1<br />

(<br />

[<br />

)<br />

(<br />

......<br />

))<br />

(<br />

(<br />

)<br />

2<br />

(<br />

)<br />

(<br />

))<br />

(<br />

(<br />

))<br />

(<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

))<br />

(<br />

(<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

3<br />

3<br />

2<br />

2<br />

1<br />

t<br />

x<br />

G<br />

n<br />

t<br />

g<br />

t<br />

y<br />

t<br />

x<br />

G<br />

t<br />

g<br />

t<br />

y<br />

t<br />

x<br />

G<br />

t<br />

x<br />

G<br />

t<br />

g<br />

t<br />

y<br />

t<br />

x<br />

G<br />

t<br />

g<br />

t<br />

y<br />

n<br />

n<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

=<br />

−<br />

−<br />

=<br />

=<br />

−<br />

=<br />

=<br />

−<br />

=<br />

−<br />

=<br />

=<br />

=<br />

τ<br />

τ<br />

τ<br />

τ )<br />

(x<br />

H<br />

y<br />

<br />

=<br />

若迟豫向量y的阶数足够大,从y相空间的性质就可以得到原系统x的相空间性质。


四. 动力系统解的存在性以及特征<br />

动力系统本质上就是一阶常微分方程组,因此,常微分方程<br />

的基本理论对研究动力系统非常重要。我们仅讲述最重要的<br />

两个基本定理。<br />

1.常微分方程解的存在唯一性定理<br />

初值问题:<br />

dx<br />

dt<br />

( x t<br />

=<br />

=<br />

f<br />

t<br />

( x,<br />

t)<br />

0 )<br />

=<br />

x<br />

0


Picard定理 (解的存在唯一性定理):若函数f(x,t)在空间R n+1 中<br />

某一区域:<br />

R: |t-t0 | ≤ a, |x-x0| ≤ b;<br />

上连续,并且关于x满足Lipschitz条件,即存在常数L>0,使当<br />

(t,x), (t,x)在上述区域R时,有:<br />

|f(t,x)-f(t,x’)| ≤ L|x-x’|;<br />

则方程组(E)至少在区间<br />

|t-t0 | ≤ h<br />

上存在唯一的满足初始条件x(t=0)=x 0 的解x(t),其中<br />

h=min{a, b/M}, M= max |f(t,x)|<br />

推<br />

论:<br />

(t,x) in R<br />

上述定理的结论在f(t,x)关于t,x连续,并存在连<br />

续的对x的偏导数 ∂fi<br />

就成立。<br />

∂x<br />

j


证明:分几步。<br />

dx<br />

(1)化微分方程<br />

= f ( x, t)<br />

为等价的积分方程:<br />

0<br />

t<br />

∫<br />

t<br />

(2) 构造向量函数序列 ϕ (t),(k=1,2...)<br />

ϕ (t)=x ;<br />

0 0<br />

0<br />

t<br />

∫<br />

0<br />

∫<br />

0<br />

(3) 证明序论 ϕ (t)在J=[t -a,t +a]上一致收敛。<br />

ϕ<br />

事实上,令K= max| 1(t)<br />

ϕ0 t∈J dt<br />

x(t)=x + f(s,x(s))ds<br />

x (t)=x + f(s,x (s))ds<br />

1 0 0<br />

t<br />

k+1 0 k<br />

t<br />

t<br />

x (t)=x + f(s,x (s))ds<br />

k 0 0<br />

k<br />

- (t)|,有:


t<br />

∫<br />

| ϕ(t)- ϕ(t)|=| [f(s, ϕ(s))-f(s, ϕ(s))]ds|<br />

2 1 1<br />

t<br />

0<br />

t t<br />

∫ ∫<br />

≤ |f(s, ϕ(s))-f(s, ϕ(s))|ds ≤| L| ϕ(s)- ϕ(s)|ds<br />

| ≤aLK<br />

1 0 1 0<br />

t t<br />

0 0<br />

故对某一个 k ≥2, 当 t∈J时,有 | ϕ(t)- ϕ (t)| ≤(aL)<br />

k k-1<br />

k-1<br />

K.<br />

设 aL < a < 1, 则对任给 ε > 0, 存在 N,<br />

使当r,s>N时,<br />

∞ ∞<br />

∑ ∑<br />

k<br />

| ϕ (t)- ϕ(t)| ≤ | ϕ (t)- ϕ(t)| ≤ (a) K < ε<br />

r s k+1 k<br />

k= N k= N<br />

故 ϕ (t)在J上一致收敛,记极限函数x(t).<br />

k<br />

0


(4)证明x(t)满足积分方程:<br />

k+1 0 k<br />

t<br />

0<br />

t<br />

∫<br />

0<br />

t<br />

∫<br />

x(t)=x + f(s,x(s))ds<br />

只要在恒等式<br />

t<br />

x (t)=x + f(s,x (s))ds<br />

0<br />

取极限k →∞,由<br />

xt () 的一致收敛性可得。存在性证毕。<br />

唯一性证明:<br />

设x(t),y(t)是满足x(t )=y(t )=x 的解,只要证得对<br />

t ∈ J有 x() t = y() t 即可。<br />

t∈J 则:Q=|x(t )-y(t )|=| x(s)-y(s)ds | ≤|<br />

|f(s,x(s))-f(s,y(s))|ds |<br />

t<br />

1<br />

∫<br />

≤ L|x(s)-y(s)|ds ≤<br />

t<br />

0<br />

1 1<br />

0 0 0<br />

令Q=max|x(t)-y(t)|,且此最大值在闭区间J上的某一点t 处达到,<br />

t t<br />

1 1<br />

∫ ∫<br />

t t<br />

0 0<br />

aLQ.<br />

因为: aL < a < 1, 所以 Q = 0, 于是在 J 上 x( t) = y( t).<br />

证毕。<br />

1


唯一性失效的一个例子:<br />

满足t=0时x=0的解(图)<br />

1<br />

x<br />

dx =<br />

dt<br />

t<br />

2/<br />

3<br />

x<br />

解: x(t)=0<br />

和 x(t)=(t/3) 3<br />

都是满足该初始条件<br />

的解.<br />

原因:f(x)在x=0处连续但不可微.


2.动力系统常点附近流的直化定理<br />

对于自治动力系统<br />

dx = (1)<br />

dt<br />

f<br />

(x)<br />

若对于相空间中任意点 x, 定义伴随其一个相速度<br />

v(x)=f(x),(严格地说,应该是(1)决定的相流g t (x)对t的导数), 则<br />

相速度的集合定义了相空间的一个向量场,即相速度场.<br />

V(x)<br />

x<br />

向量场


2.动力系统常点附近流的直化定理<br />

对于自治动力系统<br />

dx = (1)<br />

dt<br />

f<br />

(x)<br />

若f(x 0 )=0,则称x 0 为由f(x)定义的向量场的奇点,否则称为常点.<br />

在常点附近,动力系统(1)决定的流有方程简单的拓扑性质.<br />

直化(rectification)定理(Arnold)<br />

在常点x 0 附近的充分小邻域内,动力系统(1)等价于:<br />

1, ... 2<br />

1 dy dy<br />

= dt = dt =<br />

dy n<br />

dt<br />

证明见Arnold:《常微分方程》,科学出版社 1981<br />

0


x n<br />

x1<br />

g<br />

y n<br />

借助于微分同胚g向量场的直化<br />

y 1


全局不能直化的原因:<br />

(1)向量场奇点存在<br />

(2)类似下述情形:<br />

x 2<br />

x 1


本节参考书<br />

• Arnold:《常微分方程》,沈家骐等译,<br />

科学出版社 1981<br />

• 张锦炎:常微分方程几何理论与分支问<br />

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