动力系统定义以及分类 - 南京大学天文系
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《非线性动力学引论》<br />
第三讲<br />
动力系统简介<br />
<strong>南京大学天文系</strong>周济林<br />
zhoujl@nju.edu.cn
1、动力系统的分类<br />
什么是动力系统?
dx<br />
dt =<br />
f<br />
( x , t , ε )<br />
x ' =<br />
g ( x , ε )<br />
ε为参数
例:单摆
保守系统是指相流可压缩系统,耗散系<br />
统是相流不可压缩系统。<br />
D<br />
g t D
Liouville定理:<br />
对于动力系统<br />
dx<br />
dt<br />
=<br />
f( x, t)<br />
设g t 为其相应的相流(单参数变换群):<br />
g t (x)=x+f(x)t+O(t 2 ), (t 0)<br />
设D(0)为x空间的一个区域,V(0)为其体积,<br />
D(t)=g t D(0), V(t)为D(t)的体积,若<br />
div f =0 (无源无汇)<br />
则相流g t 保体积:V(t)=V(0).<br />
证明:<br />
根据多重积分的变量变换公式:
V ( t)<br />
∫ det<br />
∂g<br />
( x)<br />
D(<br />
0)<br />
∂x<br />
= dx<br />
由公式: g t (x)=x+f(x)t+O(t 2 ), (t 0) 得<br />
由<br />
于:<br />
故:<br />
求导:<br />
故<br />
∂<br />
g t<br />
) ( x<br />
∂x<br />
= E +<br />
∂f<br />
∂x<br />
t<br />
+<br />
t<br />
:<br />
( )<br />
2<br />
O t<br />
∂f<br />
2<br />
det | E At| 1 ( trace ∂x<br />
) t O( t ),<br />
t<br />
(t 0)<br />
+ = + + (t 0)<br />
∂g ( x) = + trace<br />
∂f<br />
t + O t<br />
2<br />
∂x ∂x<br />
det 1 ( ) ( )<br />
V t trace t O t dx<br />
( ) = ∫<br />
D (0)<br />
[1 + (<br />
∂ f<br />
∂ x ) + (<br />
2<br />
)]<br />
dV ( t)<br />
dt<br />
trace ∂<br />
= ∫<br />
D<br />
(0)<br />
∂ f<br />
( trace ) dx<br />
∂ x<br />
f<br />
∂ x 0 = dV ( t)<br />
dt<br />
=<br />
0
对于<br />
令:<br />
dx<br />
dt<br />
=<br />
f( x, t)<br />
一个连续的动力系统是保守系统的充要条件是
x'=<br />
1+<br />
y'=<br />
bx<br />
y<br />
−<br />
ax<br />
Det(B)=-b, 当|b|=1时为保守系统,否则为耗散系统。<br />
2
动力系统的其它分类:<br />
1、确定性与随机系统 (方程是否含有随机项)<br />
2、自治与非自治系统 (右端f是否显含时间)<br />
3、可逆与不可逆系统<br />
可逆:x(t)唯一得到x(t-1). 只要任一轨道不并合,<br />
就是可逆系统。连续的确定性流总是可逆的。映射系<br />
统则未必。从一个流得到的映射总是可逆的。保守映<br />
射可逆的。只要映射的Jacobi行列式不为零,该映射<br />
是可逆的。<br />
4、其他 ,如:随机性( K系统、C系统)
2、离散动力系统与连续动力系统的转换
Poincare截面示意图<br />
对两自由度哈密顿系统H(x ,x ,y ,y ), 因演化中能量守恒H(x ,x ,y ,y ) =E,<br />
2 2 1 1 2 2<br />
1 2 1 2 1 2 1 2<br />
可解得:x =x (x ,y ,y ,E),取截面:y =0,则轨道在该截面的交点<br />
可以反映原轨道的特性,该截面称为poincare截面。
Henon & Heiles, Astronomical Journal, Vol. 69, p. 73 (1964)
3、动力系统的相空间重构技术<br />
设动力系统<br />
<br />
d x<br />
dt<br />
=<br />
<br />
f ( x )<br />
是m维的。在某些情况下,我们不知道上述运动方程,只<br />
能通过观测得到由该x确定的一个力学量的时间变化序<br />
列:<br />
<br />
g<br />
( t ) = G ( x ( t<br />
如何来通过这一序列了解原动力系统的一些特性<br />
(包括相空间维数、拓扑性质)?<br />
))
可以定义一个迟豫坐标(delay coordinate)向<br />
量:<br />
]<br />
)<br />
1<br />
(<br />
[<br />
)<br />
(<br />
......<br />
)<br />
2<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
3<br />
2<br />
1<br />
τ<br />
τ<br />
τ<br />
−<br />
−<br />
=<br />
−<br />
=<br />
−<br />
=<br />
=<br />
n<br />
t<br />
g<br />
t<br />
y<br />
t<br />
g<br />
t<br />
y<br />
t<br />
g<br />
t<br />
y<br />
t<br />
g<br />
t<br />
y<br />
n<br />
由于:<br />
))<br />
(<br />
(<br />
]<br />
)<br />
1<br />
(<br />
[<br />
)<br />
(<br />
......<br />
))<br />
(<br />
(<br />
)<br />
2<br />
(<br />
)<br />
(<br />
))<br />
(<br />
(<br />
))<br />
(<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
))<br />
(<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
1<br />
t<br />
x<br />
G<br />
n<br />
t<br />
g<br />
t<br />
y<br />
t<br />
x<br />
G<br />
t<br />
g<br />
t<br />
y<br />
t<br />
x<br />
G<br />
t<br />
x<br />
G<br />
t<br />
g<br />
t<br />
y<br />
t<br />
x<br />
G<br />
t<br />
g<br />
t<br />
y<br />
n<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=<br />
−<br />
−<br />
=<br />
=<br />
−<br />
=<br />
=<br />
−<br />
=<br />
−<br />
=<br />
=<br />
=<br />
τ<br />
τ<br />
τ<br />
τ )<br />
(x<br />
H<br />
y<br />
<br />
=<br />
若迟豫向量y的阶数足够大,从y相空间的性质就可以得到原系统x的相空间性质。
四. 动力系统解的存在性以及特征<br />
动力系统本质上就是一阶常微分方程组,因此,常微分方程<br />
的基本理论对研究动力系统非常重要。我们仅讲述最重要的<br />
两个基本定理。<br />
1.常微分方程解的存在唯一性定理<br />
初值问题:<br />
dx<br />
dt<br />
( x t<br />
=<br />
=<br />
f<br />
t<br />
( x,<br />
t)<br />
0 )<br />
=<br />
x<br />
0
Picard定理 (解的存在唯一性定理):若函数f(x,t)在空间R n+1 中<br />
某一区域:<br />
R: |t-t0 | ≤ a, |x-x0| ≤ b;<br />
上连续,并且关于x满足Lipschitz条件,即存在常数L>0,使当<br />
(t,x), (t,x)在上述区域R时,有:<br />
|f(t,x)-f(t,x’)| ≤ L|x-x’|;<br />
则方程组(E)至少在区间<br />
|t-t0 | ≤ h<br />
上存在唯一的满足初始条件x(t=0)=x 0 的解x(t),其中<br />
h=min{a, b/M}, M= max |f(t,x)|<br />
推<br />
论:<br />
(t,x) in R<br />
上述定理的结论在f(t,x)关于t,x连续,并存在连<br />
续的对x的偏导数 ∂fi<br />
就成立。<br />
∂x<br />
j
证明:分几步。<br />
dx<br />
(1)化微分方程<br />
= f ( x, t)<br />
为等价的积分方程:<br />
0<br />
t<br />
∫<br />
t<br />
(2) 构造向量函数序列 ϕ (t),(k=1,2...)<br />
ϕ (t)=x ;<br />
0 0<br />
0<br />
t<br />
∫<br />
0<br />
∫<br />
0<br />
(3) 证明序论 ϕ (t)在J=[t -a,t +a]上一致收敛。<br />
ϕ<br />
事实上,令K= max| 1(t)<br />
ϕ0 t∈J dt<br />
x(t)=x + f(s,x(s))ds<br />
x (t)=x + f(s,x (s))ds<br />
1 0 0<br />
t<br />
k+1 0 k<br />
t<br />
t<br />
x (t)=x + f(s,x (s))ds<br />
k 0 0<br />
k<br />
- (t)|,有:
t<br />
∫<br />
| ϕ(t)- ϕ(t)|=| [f(s, ϕ(s))-f(s, ϕ(s))]ds|<br />
2 1 1<br />
t<br />
0<br />
t t<br />
∫ ∫<br />
≤ |f(s, ϕ(s))-f(s, ϕ(s))|ds ≤| L| ϕ(s)- ϕ(s)|ds<br />
| ≤aLK<br />
1 0 1 0<br />
t t<br />
0 0<br />
故对某一个 k ≥2, 当 t∈J时,有 | ϕ(t)- ϕ (t)| ≤(aL)<br />
k k-1<br />
k-1<br />
K.<br />
设 aL < a < 1, 则对任给 ε > 0, 存在 N,<br />
使当r,s>N时,<br />
∞ ∞<br />
∑ ∑<br />
k<br />
| ϕ (t)- ϕ(t)| ≤ | ϕ (t)- ϕ(t)| ≤ (a) K < ε<br />
r s k+1 k<br />
k= N k= N<br />
故 ϕ (t)在J上一致收敛,记极限函数x(t).<br />
k<br />
0
(4)证明x(t)满足积分方程:<br />
k+1 0 k<br />
t<br />
0<br />
t<br />
∫<br />
0<br />
t<br />
∫<br />
x(t)=x + f(s,x(s))ds<br />
只要在恒等式<br />
t<br />
x (t)=x + f(s,x (s))ds<br />
0<br />
取极限k →∞,由<br />
xt () 的一致收敛性可得。存在性证毕。<br />
唯一性证明:<br />
设x(t),y(t)是满足x(t )=y(t )=x 的解,只要证得对<br />
t ∈ J有 x() t = y() t 即可。<br />
t∈J 则:Q=|x(t )-y(t )|=| x(s)-y(s)ds | ≤|<br />
|f(s,x(s))-f(s,y(s))|ds |<br />
t<br />
1<br />
∫<br />
≤ L|x(s)-y(s)|ds ≤<br />
t<br />
0<br />
1 1<br />
0 0 0<br />
令Q=max|x(t)-y(t)|,且此最大值在闭区间J上的某一点t 处达到,<br />
t t<br />
1 1<br />
∫ ∫<br />
t t<br />
0 0<br />
aLQ.<br />
因为: aL < a < 1, 所以 Q = 0, 于是在 J 上 x( t) = y( t).<br />
证毕。<br />
1
唯一性失效的一个例子:<br />
满足t=0时x=0的解(图)<br />
1<br />
x<br />
dx =<br />
dt<br />
t<br />
2/<br />
3<br />
x<br />
解: x(t)=0<br />
和 x(t)=(t/3) 3<br />
都是满足该初始条件<br />
的解.<br />
原因:f(x)在x=0处连续但不可微.
2.动力系统常点附近流的直化定理<br />
对于自治动力系统<br />
dx = (1)<br />
dt<br />
f<br />
(x)<br />
若对于相空间中任意点 x, 定义伴随其一个相速度<br />
v(x)=f(x),(严格地说,应该是(1)决定的相流g t (x)对t的导数), 则<br />
相速度的集合定义了相空间的一个向量场,即相速度场.<br />
V(x)<br />
x<br />
向量场
2.动力系统常点附近流的直化定理<br />
对于自治动力系统<br />
dx = (1)<br />
dt<br />
f<br />
(x)<br />
若f(x 0 )=0,则称x 0 为由f(x)定义的向量场的奇点,否则称为常点.<br />
在常点附近,动力系统(1)决定的流有方程简单的拓扑性质.<br />
直化(rectification)定理(Arnold)<br />
在常点x 0 附近的充分小邻域内,动力系统(1)等价于:<br />
1, ... 2<br />
1 dy dy<br />
= dt = dt =<br />
dy n<br />
dt<br />
证明见Arnold:《常微分方程》,科学出版社 1981<br />
0
x n<br />
x1<br />
g<br />
y n<br />
借助于微分同胚g向量场的直化<br />
y 1
全局不能直化的原因:<br />
(1)向量场奇点存在<br />
(2)类似下述情形:<br />
x 2<br />
x 1
本节参考书<br />
• Arnold:《常微分方程》,沈家骐等译,<br />
科学出版社 1981<br />
• 张锦炎:常微分方程几何理论与分支问<br />
题