วิเคราะห์ความน่าเชื่อถือ - AS Nida

การประชุมวิชาการดานการวิจัยดําเนินงานแหงชาติ ประจําป ๒๕๕๐
การศึกษาเชิงตัวเลขของการนําเอาจุดนาจะเปนที่สุดมาใชสําหรับการวิเคราะหความนาเชื่อถือ
A Numerical Study on Implementation of Most Probable Point for Reliability Analysis
ทวีภัทร บูรณธิติ
สายวิชาเทคโนโลยีวัสดุ คณะพลังงานสิ่งแวดลอมและวัสดุ
มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกลาธนบุรี
E-mail: thaweepat.bur@kmutt.ac.th
่
้
บทคัดยอ
ความนาเชื่อถือเปนประเด็นสําคัญในระบบสวนใหญเนื่องจากการมีอยูของความไมแนนอน
ขณะที่การประเมินความไม
แนนอนเปนหัวขอที่ทาทาย
เพราะมีขั้นตอนและตองใชทรัพยากรที่จําเปนในการคํานวณมากกวาการวิเคราะหที่ไมนําเอา
ความไมแนนอนเขามาคํานึงถึง บทความนี้นําเสนอการศึกษาเชิงตัวเลขของการนําเอาเทคนิคจุดนาจะเปนที่สุดมาใชสําหรับ
การวิเคราะหความนาเชื่อถือกับกรณีศึกษาจํานวนหนึ่ง
จากการศึกษาพบวาเทคนิคนี้สามารถประมาณความนาจะเปนที
ขีดจํากัดหรือความนาเชื่อถือไดเปนอยางดีเมื่อเทียบกับการจําลองสถานการณมอนเตคารโลซึ่งเปนวิธีที่มีศักยภาพแตวา
ตองการใชทรัพยากรในการคํานวณที่สูงมาก
นอกจากนี้ไดมีการรวบรวมการนํามาประยุกตใช
ผลการพยากรณ การ
อภิปรายผล และหมายเหตุสรุปจากกรณีศึกษาเหลานี
คําสําคัญ : จุดนาจะเปนที่สุด,
ความนาเชื่อถือ,
การประเมินความไมแนนอน, ความนาจะเปน
Abstract
Reliability is an important issue in most systems because of the existence of uncertainty. At the same time, the
uncertainty assessment is a challenging issue since the needed effort is usually greater than that of deterministic analysis
without taking uncertainty into account. The paper presents a numerical study on an implementation of most probable
point (MPP) for reliability analysis through some case studies. It is found that MPP can well estimate the reliability in
terms of probability at the limit when it is compared with Monte Carlo simulation, a powerful but expensive method.
Implementations, prediction results, discussions and concluding remarks are given in this paper.
Keywords : Most Probable Point; Reliability; Uncertainty Assessment; Probability
1. บทนํา (Introduction)
ความนาเชื่อถือ
(Reliability) ของระบบหนึ่งๆถือไดวาเปนสิ่งสําคัญอยางยิ่งในสังคมปจจุบัน
ผลิตภัณฑ (Product)
หรือกระบวนการผลิต (Manufacturing Processes) ใดๆ ตองมีความนาเชื่อถือที่เพียงพอที่จะหลีกเลี่ยงความเสียหายที่อาจจะ
เกิดขึ้นได
โดยทั่วไปแลวในการออกแบบนั้นถาปจจัยทุกอยางที่เปนสวนประกอบใหเกิดเปนผลิตภัณฑหนึ่งมีความ
สมบูรณแบบตามที่ออกแบบไว
การผลิตผลิตภัณฑนั้นยอมจะไมเกิดผลิตภัณฑที่เปนของเสียได
แตในความเปนจริงนั้นใน
ปจจัยจํานวนมากนั้นมีความไมแนนอน
(Uncertainty) แฝงอยู
เชน วัสดุรับแรงถูกออกแบบมีความสามารถรับภาระกรรม
(Load) ได 300 MPa แตบางชิ้นรับไดนอยกวาซึ่งอาจจะทําใหเกิดความเสียหายได
เปนตน ดังนั้นการวิเคราะหความ
นาเชื่อถือของระบบจึงจําเปนอยางยิ่งที่จะตองรับทราบถึงปจจัยความไมแนนอนที่แฝงอยูในระบบอยางหลีกเลี่ยงไมได
55

56
Applied Statistics
การสรางแบบจําลองที่เปนจริงสําหรับปรากฎการณจริงนั้น
จําเปนตองพิจารณาความเปนไปไดของความไมแนนอนดวย
[Ross, 1993; Law and Kelton, 2000]
การวิเคราะหความนาเชื่อถือ
(Reliability Analysis) มีความทาทายเปนอยางยิ่ง
เนื่องจากตองพิจารณาถึงความไม
แนนอนของปจจัยตางๆเขามา [Robinson, 1989; Oberkampf et al., 2002] ทั้งนี้วิธีการประเมินความไมแนนอน
(Uncertainty Assessment) ที่เปนที่ยอมรับมาอยางยาวนานก็คือ
Monte Carlo Simulation (MCS) ซึ่งอาศัยหลักการของตัว
แปรสุม
(Random Variable) และกฎจํานวนมาก (Strong Law of Large Number) ซึ่งปจจุบันสามารถทําไดดวยคอมพิวเตอร
ประสิทธิภาพสูง อยางไรก็ตามเทคนิคนี้มีปญหามากกับกรณีที่ตัวแปรมีจํานวนมาก
ซึ่งทําใหตองการจํานวนตัวแปรสุม
จํานวนมากเพิ่มขึ้นตามตัวแปรของระบบโดยมีการเพิ่มขึ้นเปนแบบ
Exponential ซึ่งลักษณะปญหานี้สามารถเรียกไดวาเปน
Curse of Dimensionality โดยที่ความตองการการคํานวณเพิ่มขึ้นอยางไมมีที่สิ้นสุดอยางรวดเร็วในอัตรายกกําลังตามขนาด
ของระบบ จึงมีความจําเปนตองพิจารณาหาเทคนิคการประเมินความไมแนนอนที่มีประสิทธิภาพ
(Efficient) มากกวาวิธี
MCS โดยวิธีการประมาณที่นิยมใชคือ
เทคนิค Moment-Matching ซึ่งเนนการประมาณคาคาดหวัง
(Expected Value) และ
คาความแปรปรวน (Variance) โดยเทคนิคที่มีประสิทธิภาพตางๆ
เชน First-Order Approximation และ Weighted Three-
Point-Based Method ใน Buranathiti et al. (2006)
ลักษณะเดนในการวิเคราะหความนาเชื่อถือนั้นอยูที่การเนนการหาจุดที่มักจะมีคาความนาจะเปนที่จุดปลาย
(Tail)
ดานใดดานหนึ่ง
เชน ความนาจะเปนที่โครงสรางหนึ่งจะรับภาระกรรมไดนอยกวาคาๆหนึ่ง
เปนตน ดังนั้นการใชวิธี
MCS
ซึ่งเปนการหาฟงกชันการกระจายความหนาแนนความนาจะเปน
(Probability Density Function หรือ PDF) ทั้งหมดจึงไม
คุมคา
เชน ความนาเชื่อถือที่
99.99% นั้น
ในการสุม
100,000 ตัวอยาง ในอุดมคติแลวจะมีสวนที่เสียที่สนใจในการประเมิน
ความนาเชื่อถืออยูประมาณ
10 ตัวอยาง และมีกรณีที่ผานอยูถึง
99,990 ตัวอยาง ทําใหความแมนยําของวิธี MCS นั้นไมดีนัก
โดยเฉพาะระบบที่ตองการวิเคราะหหาความนาเชื่อถือที่สูงๆ
เชน 0.01% 0.00 001% (1 ในลาน) เปนตน และมีตัวแปรใน
ระบบจํานวนมาก สวนเทคนิคหนึ่งที่เนนหาความนาจะเปนที่จุดปลาย
คือ เทคนิคจุดนาจะเปนที่สุด
(Most Probable
Technique, MPP) โดย MPP เปนเทคนิคที่เนนการหาสถานะขีดจํากัด
(Limit State) ที่สอดคลองกับคาความนาเชื่อถือหรือ
ความนาจะเปนหนึ่งๆ
ทําใหลดภาระการคํานวณที่จะตองหา
PDF ทั้งหมด
[Robinson, 1998; Du and Chen, 2001]
บทความนี้ไดนําเสนอเทคนิคการประเมินความไมแนนอนสําหรับการวิเคราะหความนาเชื่อถือโดยเทคนิค
MPP
พรอมกับการแสดงกรณีตัวอยางประกอบการศึกษาเปนกรณีศึกษา โดยพิจารณาจากความสามารถในการพยากรณคาความ
นาเชื่อถือและ
PDF ที่เกิดขึ้นโดยการเปรียบเทียบกับวิธี
MCS เปนวิธีอางอิง โดยกรณีศึกษานี้นําไปสูการอภิปรายและหมาย
เหตุสรุปสําหรับเทคนิค MPP ในการนําไปประยุกตใชในการวิเคราะหความนาเชื่อถือตอไป
2. เทคนิคจุดนาจะเปนที่สุด
(Most Probable Point Technique)
เทคนิคจุดนาจะเปนที่สุดมีพื้นฐานความคิดมาจากการหาสถานะขีดจํากัดที่สอดคลองกับคาความนาเชื่อถือหรือ
ความนาจะเปนหนึ่งๆ
ดังนั้นเทคนิค
MPP นั้นเหมาะสมการประยุกตใชเพื่อหาคาเฉพาะคาหนึ่ง
กําหนดใหตัวแปรผลลัพธ
หรือตัวแปรตามของระบบ ( y ) เปนฟงกชันของเวกเตอรตัวแปรอิสระ ( x ) ดังตอไปนี้
( ) ( 1, 2 , , n ) x x x y y y K
= = x (1)
โดยระบบมีจํานวนตัวแปรอิสระ n ตัวแปร
ทําการแปลงเวกเตอรตัวแปรอิสระ ( x ) ไปอยูใน
Space อื่น
ในกรณีนี้ทําการแปลง
x ใหอยูใน
Standard Normal
Space u ( u ⇔
x ) ดวยการอางอิงฟงกชันความนาจะเปนสะสม (Cumulative Distribution Function หรือ CDF) ดังนี้

การประชุมวิชาการดานการวิจัยดําเนินงานแหงชาติ ประจําป ๒๕๕๐
่ ้
้
้
้
−1
u = Φ [ F(
x)
]
(2)
−1
โดยที F (x)
เปน CDF ของ x และ Φ [ F]
เปนฟงกชันยอนกลับของ F ทั้งนี
ฟงกชัน F(x)
สามารถเปนฟงกชันของ
การกระจายความนาจะเปนตางๆ เชน แบบสม่ําเสมอ
(Uniform) แบบปกติ (Normal) เปนตน สําหรับการประยุกตเพื่อ
นําไปสราง PDF หรือ CDF นั้น
จําเปนที่จะตองหาคาความนาจะเปนสะสม
ณ คาตัวแปรผลลัพธของระบบ y ทุกๆคา
ระยะทางที่สั้นที่สุด
(β) เปนฟงกชันของ u เปนตัวแปรที่ตองทําการคํานวณ
โดยระยะทางที่สั้นที่สุด
(β) นี
จําเปนจะตองสอดคลองกับสมการสถานะขีดจํากัดดังนี
y ( x ( u))
− Y = 0
(3)
จากแนวคิดที่กลาวมาแลวนั้น
ทําใหสามารถเขียนเปนแบบจําลองทางคณิตศาสตรในรูปแบบจําลองหาความ
เหมาะสม (Optimization Model) ในรูปแบบปญหาหาคานอยที่สุดที่มีขอจํากัดแบบไมเชิงเสนไดดังตอไปนี
Find β = min u
u
Subjected to y( x(
u))
−Y = 0
(4)
ขอบเขตที่เปนไปไดของตัวแปร
u นี้มักจะอยูในชวงสั้นๆ
กลาวคือ ระหวาง [-5,5]
เมื่อระยะทางที่สั้นที่สุด
(β) สามารถหาไดแลว คาความนาจะเปนสะสมที่ตัวแปรผลลัพธของระบบ
y จะนอย
กวาคาที่กําหนดไว
Y หรือ y < Y จะถูกกําหนดไดดวยความสัมพันธดังนี้
P(
y(
⎧1
− Φ(
β ), P < 0.
5
( u))
< Y ) = ⎨
⎩ Φ(
β ), P ≥ 0.
5
x (5)
ความหมายทางเรขาคณิตของระยะทางที่สั้นที่สุด
(β) และสถานะขีดจํากัด (Limit State) สามารถดูไดจากรูปที่
1 โดยที่
ฟงกชันความนาจะเปนจะตัดกับฟงกชันสถานะขีดจํากัดที่
β
รูปที่
1 ความสัมพันธในลักษณะเรขาคณิตของการกระจายความนาจะเปนและฟงกชันสถานะขีดจํากัด จาก Robinson
(1998)
3. กรณีศึกษา (Case Study)
เพื่อทําการศึกษาการนําเทคนิค
MPP มาใชในการประเมินความนาเชื่อถือ
จึงไดยกกรณีศึกษาเปนฟงกชันทั่วไป
เพื่อแทนระบบทั่วไป
โดยกําหนดใหตัวแปรอิสระทุกตัวในที่นี้มีการกระจายตัวของความไมแนนอนตามการกระจายแบบ
2
ปกติ (Normal Distribution) ที่มีคาเฉลี่ย
( μx
) และ ความแปรปรวน ( σ
x ) ของตัวแปรสุมเทากับ
1 เพื่อใหงายตอการ
เปรียบเทียบตอไป วิธี MPP จะไดถูกเปรียบเทียบกับวิธี MCS ดวยจํานวนการสุม
500,000 ครั้ง
ซึ่งถือเปนคาอางอิงตอไป
57

58
Applied Statistics
กรณีที่
1 กําหนดใหระบบมีผลลัพธตามความสัมพันธในรูปแบบเชิงเสนดังนี้
g ( x ) = x1
+ x2
(6)
คาความนาเชื่อถือของระบบ
P ( y < Y ) เมื่อผลลัพธนอยกวาคาที่กําหนดไว
โดยวิธี MPP และ MCS ไดถูกรวบรวมแสดง
ไวในตารางที่
1 สวน PDF และ CDF ของระบบแสดงในรูปที่
2 และ 3 ตามลําดับ
ตารางที่
1 ความนาเชื่อถือของระบบโดยวิธี
MPP และ MCS
Y P ( y < Y ) from MPP P ( y < Y ) from MCS
0 7.8650E-02 7.9154E-02
-1 1.6947E-02 1.7130E-02
-2 2.3389E-03 2.2720E-03
-3 2.0348E-04 2.2400E-04
-4 1.1045E-05 1.0000E-05
-5 3.7155E-07 0.0000E+00
Probability Density
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
MPP
MCS
0
-5 0 5 10
Response
รูปที่
2 คาพยากรณฟงกชันความนาจะเปน (PDF) จากวิธี MPP และ MCS

การประชุมวิชาการดานการวิจัยดําเนินงานแหงชาติ ประจําป ๒๕๕๐
Cumulative Distribution
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-5 0 5 10
Response
รูปที่
3 คาพยากรณฟงกชันความนาจะเปนสะสม (CDF) จากวิธี MPP และ MCS
กรณีที่
2 กําหนดใหระบบมีผลลัพธตามความสัมพันธแบบไมเชิงเสนดังนี้
2
2
g( x ) = 0.
5x1
+ 0.
25x1x
2 + 0.
5x
2 + 1.
5x
3x
4 − 0.
5x
4
(7)
คาความนาเชื่อถือของระบบ
P ( y < Y ) เมื่อผลลัพธนอยกวาคาที่กําหนดไวโดยวิธี
MPP และ MCS ไดถูกรวบรวมแสดง
ไวในตารางที่
2 สวน PDF และ CDF ของระบบแสดงในรูปที่
4 และ 5 ตามลําดับ
ตารางที่
2 ความนาเชื่อถือของระบบโดยวิธี
MPP และ MCS
Y P ( y < Y ) from MPP P ( y < Y ) from MCS P ( y < Y ) from MCS P ( y < Y ) from MCS
0 1.5401E-01 1.6826E-01 1.6874E-01 1.6877E-01
-4 1.5091E-02 1.1198E-02 1.1226E-02 1.1243E-02
-6 4.9906E-03 3.3520E-03 3.3100E-03 3.3238E-03
-8 1.6734E-03 1.0180E-03 1.0220E-03 1.0026E-03
-10 5.6589E-04 2.6400E-04 2.9150E-04 3.0020E-04
-15 3.8415E-05 1.0000E-05 1.5500E-05 1.5200E-05
500k samples 2M samples 10 M samples
Probability Density
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
59
MPP
MCS
MPP
MCS
0
-10 -5 0 5 10 15
Response

รูปที่
4 คาพยากรณฟงกชันความนาจะเปน (PDF) จากวิธี MPP และ MCS
Cumulative Distribution
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10 -5 0 5 10 15
Response
60
MPP
MCS
รูปที่
5 คาพยากรณฟงกชันความนาจะเปนสะสม (CDF) จากวิธี MPP และ MCS
Applied Statistics
4. อภิปรายและหมายเหตุสรุป (Discussions and Concluding Remarks)
การคํานวณหาคาความนาเชื่อถือ
(Reliability) โดยวิธี MPP สามารถทําไดโดยไมตองทุมใชทรัพยากรจํานวนมาก
ในการสราง PDF ทั้งหมด
ซึ่งเหมาะกับการนําไปประยุกตใชในการหาคาความนาเชื่อถือซึ่งเปนคาความนาจะเปนที่
ขีดจํากัดที่อาจจะเปนไดทั้งทางเดียวหรือทั้งสองทางก็ได
อยางไรก็ตามเนื่องจากการคํานวณดวยวิธี
MPP จําเปนจะตอง
แกปญหาในลักษณะการหาคาเหมาะสมหรือหาระยะทางที่สั้นที่สุด
การลูเขาสูคําตอบจะเร็วหรือชาก็ขึ้นกับคําตอบเริ่มตนที่
ใสเขาไป ซึ่งปญหาลักษณะนี้มีขอดีที่วาขอบเขตของคําตอบที่เปนไปไดมักเปนขอบเขตที่จํากัด
ในกรณีศึกษาที่
1 จะเห็นไดวาวิธี MCS และ MPP ใหผลการพยากรณที่เกือบเปนเสนเดียวซึ่งแสดงวาการพยากรณ
ดวยวิธี MPP มีประสิทธิผลดีมาก ขณะที่กรณีศึกษาที่
2 จะเห็นความแตกตางระหวางทั้งสองวิธี
ซึ่งสาเหตุสวนหนึ่งมาจากมี
ความไมเปนเชิงเสนสูงของระบบของกรณีที่
2 สําหรับคาฟงกชัน PDF ในรูปที่
2 และ 4 จะเห็นไดวาวิธี MPP ใหคาฟงกชัน
PDF ที่ไมสะดุด
(Smooth) ซึ่งตางจากผลที่ไดจาก
MCS ซึ่งมีลักษณะสัญญาณรบกวน
(Noise) ซึ่งเปนลักษณะปกติจากการ
สรางตัวแปรสุมจํานวนมากและความไมสมบูรณของตัวแปรสุมที่เกิดขึ้นจากตัวกําเนิดตัวแปรสุม
(Random Generator) การ
ที่ฟงกชันไมสะดุดนี้จะชวยใหการนําไปใชในการออกแบบที่มีพื้นฐานจากความนาเชื่อถือ
(Reliability-Based Design) มี
ความเสถียรสูงขึ้น
ในกรณีที่ระบบมีความเชิงเสนสูง
ดังเชนในกรณีที่
1 วิธี MPP สามารถพยากรณ PDF ไดใกลเคียงผลจาก
วิธี MCS มาก แตเมื่อมีความไมเชิงเสนสูงขึ้น
ดังเชนกรณีที่
2 แลววิธี MPP ก็มีความผิดพลาดสูงขึ้น
ขอสังเกตอีกประการ
หนึ่งก็คือ
วิธี MPP เปนวิธีที่เนนการคํานวณคาความนาจะเปนเฉพาะจุด
จึงไมเหมาะสมที่จะนํามาใชหาการกระจายความ
หนาแนนความนาจะเปน (PDF) หรือ CDF นัก

การประชุมวิชาการดานการวิจัยดําเนินงานแหงชาติ ประจําป ๒๕๕๐
5. เอกสารอางอิง (Reference)
Du, X., and Chen, W., 2001, A most probable point-based method for efficient uncertainty analysis, Design
Manufacturing, 4, 1, 47-66.
Law, A., and Kelton, W., 2000, Simulation Modeling and Analysis, McGraw-Hill, Boston, 760p.
Buranathiti, T., Cao, J., Chen, W., and Xia, Z.C., 2006, “A Weighted Three-Point-Based Methodology for Variance
Estimation, Engineering Optimization, 38, 5, 557-576.
Oberkampf, W.L., DeLand, S.M., Rutherford, B.M., Diegert, K.V., and Alvin, K.F., 2002, Error and uncertainty in
modeling and simulation, Reliability Engineering and System Safety, 75, 3, 333-357.
Robinson, D.G., 1998, A Survey of Probabilistic Methods Used in Reliability, Risk and Uncertainty Analysis: Analytical
Techniques I, Sandia Report.
Ross, S.M., 1993, Introduction to Probability Models, Academic Press, Boston, 556p.
61