四、守恆定理(Conservation Laws)

四、守恆定理 (Conservation Laws)
(textbook: chap. 7-10)
1. 功、動能與位能
2. 能量的守恆
3. 衝量、動量與動量的守恆
4. 碰撞
5. 多粒子系統
哈伯太空望遠鏡照到兩個星雲的碰撞
頁 4-1
四、守恆定律

Fj 可分為
內部 Fjk
外界 Fj ex t
初態
initial state
rj i , vj i
j=1,2….N
作用了多長距離?
F‧ r work 功 W (scalar)
作用了多久時間?
Fj
ACTIONS!
作用!
Ft impulse 衝量 J (vector)
頁 4-2
末態
final state
rj f , vj f
j=1,2….N
四、守恆定律
Determinsistic 決定論的
F×coordinate

頁 4-3
四、守恆定律
1. 功、動能與位能(Work, Kinetic Energy and Potential
Energy)
1.1 功與動能(Work and Kinetic Energy)
功(Work) W
dW≡ F‧ dr 為一純量(scalar) [單位]=[Nm]=[joule(J)]
=[kg(m/s 2 )m]=[kg(m/s) 2 ]
「‧ 」向量內積(inner product, dot product)—結果為純量
A‧ B=|A||B|cosAB
另一種乘法「×」向量外積(outer product, cross product)結果為向量
A×B 大小為|A||B|sinAB 方向和 A 及 B 垂直
dW≡ F‧ dr=Fdrcos=F//dr
F//為 F 在路徑方向(即速度方向)的分量
ri
F
dr
r(t)
O
AB
A
rf
B

W
r
dr
f
r
i
F (沿運動路徑積分)
頁 4-4
四、守恆定律
功作用在簡單的運動物體會如何呢?先看一個簡單一維的例子。
考慮一質量為 m 之物體受一定力 F,沿一固定方向運動了距離 d,
vf 2 =vi 2 +2ad → vf 2 =vi 2 +2(F/m)d → Fd=mvf 2 /2-mvi 2 /2=W
很顯然,F 所做的功用來改變運動物體的 mv 2 /2。我們將定義 mv 2 /2
為運動物體的動能 K(Kinetic Energy),動能為一純量,單位和功相同。
現在考慮較一般的情形:
K
K
dv dv dr
dW=F//dr=ma//dr=m dr=m dr=mvdv
dt dr dt
f
f
W F dr
F//
dr
f
r
r
i
i
K
r
r
i
v
v
i
f
1
mvdv m
2
v
2 v
v
這關係稱為功-動能定理(Work-Kinetic Energy Theorem)
初態
initial state
K
i
1
2
mv
2
i
W=∫F‧dr
f
i
1
2
mv
2
f
末態
final state
K
f
1
2
mv
2
f
1
2
mv
2
i

例題 Spring-Mass System (彈簧重物系統)
F=-kx
考慮初態 xi=-D, vi=0
末態 1 xf1=0, vf1=?
末態 2 xf2=?, vf2=0
解答
末態 1:由功-動能定理
W
v
1
f 1
x0
0 1 2 0
Fdx kxdx kx
x
D
D 2
k
D
m
頁 4-5
D
1
2
kD
2
K
f 1
K
k
k
或由微分方程式 x x 的解 x(t)=-Dcost,其中 ,
m
m
v(t)=Dsint
要求 x=0,可得 t n
,n 為整數
2
此時 v=±D
末態 2:
W
x
2
f 2
x f 2
1
kxdx
0
2
D
kx
2
f 2
K
f 2
K
f 1
1
2
mv
2
f 1
i
1
2
四、守恆定律
kD
1
2
2
mv
2
f 1

或由微分方程式的解可得
要求 v(t)=0,t=n,此時之 x=±D
another thought!
我們將動能對位置的關係圖畫出可得:
頁 4-6
四、守恆定律
K 反覆出現又消失,但在同一位置
K 均相同。
假如起始時 x=0, v=0,系統保持靜止。如上頁圖(a)。
然後慢慢地施力 Fext 壓縮彈簧至 x=-D
多慢呢?要求 v~0 且維持不變,即 a=0。(這步驟要用無限久
的時間完成)
Fspring+Fext=0 → Fext=-Fspring=kx
計算 Fext 所做的功:
W
ext
1
2
D
D
2 D
Fextdx
kxdx kx 0
0 0
2
位移 D 愈大,外力所做的功 Wext 愈大。
K
-D 0 D
x
1
kD
物體到達-D 後,外力除去,當物體回到 x=0 時,K=Wext。
2

頁 4-7
四、守恆定律
我們將物體放在不同的位置,好像可以將功或是動能儲存起來。
我們可以定義位能
(Potential Energy) U
(也有人叫勢能)
1.2 位能與保守力(Potential Energy and Conservative Force)
1.2.1 位能(Potential Energy)
位能的定義:
f
U ( r f ) U
( ri
) Wext
Fext
dr
或 dU=-F‧ dr
r
r
i
r
r
i
f
F dr
一物體在空間中受到一力 F(通常為位置的函數)的影響,我們以外力
Fext 對抗 F 將物體以準靜態(quasi-static process)過程(即 v~0 且維持不
變,a=0)由 ri 移到 rf,過程中外力所做的功 Wext 定義為 rf 與 ri 間之位
能差(potential energy difference)。
和位置 r 有關的純量 U(r)
做功的可能性
轉換成動能的趨勢
注意!這裡只定義了位能差,要獲得絕對位能值前必須先定義位能的
零點。位能的零點通常是根據解決問體的方便性來定義。

例題 Spring-Mass System continue (彈簧重物系統續)
選擇 U(0)=0,則
x
x 1
U ( x)
U ( 0)
Fdx
kxdx
kx
1
U ( x)
kx
2
0 0 2
2
(由 x→ 0 所釋放出來的動能)
頁 4-8
2
四、守恆定律
無外力影響下,考慮物體由 x1 移至 x2(≦ D 最大位移),K1 已知,K2=?
由功-動能定理
1
x
2 1 2 2
K mv2
mv1
Fdx (
2 2
x
1
x
x
1
2
Fdx)
[
U ( x
即K+U=0,或K+U)=0,或 K+U=常數
2
) U
( x )] U
動能和位能之和我們稱之為力學能(Mechanical Energy)。由上面說明
可發現,若一力能定義位能,那麼,在僅有此力作用的情形下,力學
能守恆。
1
2
K
例題 重力位能
mv
2
2
1
1
2
1
2
mv
kx
2
1
2
1
1
2
(Gravitational Potential Energy)
F
mgj
g
1
2
kx
mv
2
1
2
2
1
2
1
2
kx
2
2
kx
2
2
K
1
U
1
U
2
1

2
2
U ( y2
) U ( y1)
Fg
dr
mgdy mg(
y2
y1)
令 U(0)=0,則 U(y)=mgy
1.1.2 保守力(Conservative Force)
----能夠定義位能之力
保守力的例子:彈力、重力、靜電力等
非保守力(nonconservative force)的例子:摩擦力
摩擦力和保守力有何不同呢?
考慮以 Fext 對抗摩擦力 Fk,推物體
緩慢移動x,Fext 做功 Fext‧ x。Fext
移去後,所做之功無法以動能之形
式再出現。(這些能量到哪裡去了
呢?)
保守力的定義:(有兩種表示法)
r
r
1
頁 4-9
y
y
1
四、守恆定律
(I) The net work done by a conservative force on a particle moving
around any closed path is zero.
(II) The work done by a conservative force on a particle moving between
two points does not depend on the path taken by the particle.
用數學式表示:
Fext
m
Fk
x

F is conservative, if and only if
F dr
any closed path
證明 (I) (II)
F dr
path1path2'
r
r
r
1
r
1
2
2
r
r
1
path1
path1
2
path1
0
F dr
F dr
F dr
0
r
r
r
1
1
2
r
r
2
r
頁 4-10
四、守恆定律
2
2
(I) path1F
d r path2F
dr
(II)
path2'
r
path2
r
1
2
F dr
F dr
path2
r
1
F dr
2
U ( r2 ) U
( r1)
F dr
和路徑無關,只和起點及終點有關。
若是非保守力,
能 U(r)。
例題 非保守力
(1) 摩擦力
r
r
1
2
r
1
F d r 和路徑有關,無法定義只和位置有關的位
r1
r1
r
r
1
path1
path2'
path1
path2
r2
r2

Fk dr
(2) 感應電場
F
e
0
dr
qE
dr
0
1.1.3 力場(Field)與位能
保守力的分布(即所謂的力場)→ U(r) 一種空間的特性
場(Field)----一種物理量的空間分布
向量場---例如力場、速度場
純量場---例如溫度的分布
力場中可以感應到力的物質特性和力的種類有關:
重力場---- 質量
電場------ 電荷
力場的強度 F
F=F× 質量
電荷
:
頁 4-11
Fk
Eind
四、守恆定律
dB/dt

F 為向量,單位=[力/感應到力的物質特性]
例如: (a)重力場強度
(b)電場強度
F=G‧ m G 的單位恰為加速度的單位
F=E‧ q
保守力場 F(r)→ 位能U(r) 積分
U
r)
U
( r )
( 0
x
x
0
y
Fxdx
Fydy
位能 U(r)→ 保守力場 F(r) 微分
y
0
頁 4-12
r
r
0
F dr
z
z
0
F dz
dU ( r)
F(
r)
方向導數
dr
一個純量的方向導數稱為梯度(Gradient)
描述物理量在空間變化的情形。
dU ( r)
U
( x,
y,
z)
U
( x,
y,
z)
U
( x,
y,
z)
U
( r)
i j k
dr
x
y
z
讀做 partial
z
四、守恆定律
表示 y, z 保持固定,只對 x 取微分。此步驟稱為取偏微分(partial
x
derivative)。

四、守恆定律
頁 4-13
例題 偏微分
2
sin
)
,
,
(
)
( cz
bxy
a
z
y
x
U
r
U
cz
z
U
bxy
abx
y
U
bxy
aby
x
U
2
cos
cos
U(r)的梯度可寫為 cz
bxy
abx
bxy
aby
U 2
cos
cos k
j
i
例題 位能與力場
(a) 一維問題
dx
dU
x
U
F
dx
dU
x
U
)
(
,
)
(
(b) 二維問題
y
y
x
U
x
y
x
U
U
d
dU
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
j
i
r
r
r
F(x)
dU/dx
U(x)
x

y
Constant-U contours
0.60
0.80
0.30
頁 4-14
0.20
0.40
0.700.50
0.90
1.0
x
0.10
gradU
四、守恆定律

2. 能量的守恆(Conservation of Energy)
2.1 保守力場中之能量守恆
頁 4-15
四、守恆定律
一個系統中若只有保守力做功(此部分的功可用位能的變化表示),此
系統稱為保守系統(conservative system)。
由功-動能定理可得:
f
K K f Ki
W F dr
[
U ( rf
) U
( ri
)] U
r
r
i
K
U
0 (
K U
) 0 E
0
E≡ K+U 總力學能(total mechanical energy)
E=0 表示整個過程力學能 E 保持不變,也就是力學能守恆
(conservation of mechanical energy)。
例題 擺(pendulum)
mg
T
m 所受的力有
v
重力 mg→ 保守力,做功可以重力位能表示
張力 T→ 時時和 dr 垂直,不做功

例題 (sample problem 8-5)
解答
(a)
The change in the jumper's gravitational energy is
Ug=mgy=-mg(L+d),
where d is the length change of the cord.
The change in the elastic potential energy of the
cord is Ue=kd 2 /2.
The kinetic energy K is zero both initially and
when the jumper stops.
For the cord-jumper-Earth system, we can get
Ug+Ue=0, i.e.
-mg(L+d)+kd 2 /2=0.
Inserting the given data, we obtain
-(61kg)(9.8m/s 2 )(25m+d)+(160N/m)d 2 /2=0
which we solve for d and get
d=17.9m.
h=45.0m-L-d=2.1m
(b)
The elastic force from the cord at the moment of stopping is
|F|=kd=(160N/m)(19.7m)=2864N.
The net force on the jumper is
2864N-(61kg)(9.8m/s 2 )=2270N.
(almost four times of the jumper's weight!!)
頁 4-16
四、守恆定律

2.2 非保守力做功的情形
假如除保守力 Fc(可以定義位能 U)外尚有非保守力 Fnc 做功:
由功-動能定理可得
K
[
U ( r
W
nc
K
f
f
K
i
W
) U
( r )]
i
K
U
W
t
r
r
i
r
f
r
i
f
( F
nc
nc
c
F
dr
U
(
K U ) E
頁 4-17
nc
) dr
結果發現非保守力所做的功 Wnc 恰為力學能的變化E。
F
r
r
r
i
r
i
f
f
F
F
c
nc
dr
四、守恆定律
r
r
i
f
F
nc
dr
dr
U
W
Wnc 也可換為未用位能表示的外加的力所做的功 Wapp,結果是外加的
力所做的功 Wapp 恰為系統力學能的變化E。
例題 摩擦力做功
物體由靜止滑動距離 d
摩擦力做功為-fkd
初態
initial state
K
i
1
2
mv
2
i
W=∫(Fc+Fnc)‧dr
d
末態
final state
K
f
m
1
2
mv
2
f
fk
nc

重力位能變化-mgdsin
故 -fkd = -mgdsin+Kf = -mgdsin+mv 2 /2
或 mv 2 /2 = mgdsin-fkd 或 mgdsin =mv 2 /2+fkd
頁 4-18
四、守恆定律
即重力位能的損失並未全變成動能,部分被摩擦力所耗散掉
(dissipated)。被摩擦力所耗散掉的能量到哪裡去了?
這裡必須介紹另一種形式的能量,稱做內能 Eint (internal energy),
內能並不能由巨觀的力學量來表示,他代表系統內原子隨機振動
的能量,又稱熱能(thermal energy)。
被摩擦力所耗散掉的能量造成內能的變化Eint。
這裡我們將功-動能定理改寫一下:
令Wnc=-Eint,可得(K+U+Eint)=0。
令總能量 Etot=K+U+Eint,我們得到一個用途更廣的能量守恆定理(the
law of conservation of energy)。或者,
Etot=K+U+Eint+[changes in other forms of energy]=0,
或者:
In an isolated system, energy can be transferred from one type to another,
but the total energy of the system remains constant.
這不是一個推導出來的定理,而是實驗觀察沒發現例外,而我們相信
的定律。
獨立系統(isolated system)係指和外界任何形式之能量交換的系統。

假如非獨立系統呢?
頁 4-19
四、守恆定律
由系統外以任何形式(做功、熱、或輻射等)輸入的能量等於系統總能
之變化。
功率(Power):單位時間輸入或輸出依系統之能量。
一力 F 對一物體做功之功率為:
2.3 質量與能量
P
P (average power)=E/t
dE
P(instantaneous power)=
dt
dE
dt
dW
dt
F dr
F v
dt
在原子彈爆炸時,能量來自物質質量的變化。即
[單位]
E=mc 2
E=-mc 2
能量常用的單位除 J 外,電子伏特(electron volt, eV)也是常用單位,

他和 J 的轉換如下:
計算的技巧:
1eV=1.60×10 -19 J
c 2 =9.315×10 8 eV/u=9.315×10 5 keV/u=931.5MeV/u
m 一般以 u 為單位。
例題 (sample problem 8-8)
解答
(a)
(b)
1u=1.66×10 -27 kg
頁 4-20
四、守恆定律

(c)
例題 (sample problem 8-10)
解答
頁 4-21
四、守恆定律

例題 (problem 8-47) Lennard-Jones Potential
解答
2.4 光的能量
頁 4-22
四、守恆定律
光可視為一個個的光子所構成,每一光子的能量與其頻率成正比,
比例常數稱為樸朗克常數 h (Plank constant)。
E=h
h=6.63×10 -34 J‧ s=4.14×10 -15 eV‧ s