Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
Résumé
Etude des marchés d’assurance non-vie à l’aide d’équilibres de Nash et de
modèles de risques avec dépendance
L’actuariat non-vie étudie les différents aspects quantitatifs de l’activité d’assurance. Cette
thèse vise à expliquer sous différentes perspectives les interactions entre les différents agents
économiques, l’assuré, l’assureur et le marché, sur un marché d’assurance. Le chapitre 1 souligne
à quel point la prise en compte de la prime marché est importante dans la décision de
l’assuré de renouveler ou non son contrat d’assurance avec son assureur actuel. La nécessité
d’un modèle de marché est établie.
Le chapitre 2 répond à cette problématique en utilisant la théorie des jeux non-coopératifs
pour modéliser la compétition. Dans la littérature actuelle, les modèles de compétition se
réduisent toujours à une optimisation simpliste du volume de prime basée sur une vision d’un
assureur contre le marché. Partant d’un modèle de marché à une période, un jeu d’assureurs
est formulé, où l’existence et l’unicité de l’équilibre de Nash sont vérifiées. Les propriétés
des primes d’équilibre sont étudiées pour mieux comprendre les facteurs clés d’une position
dominante d’un assureur par rapport aux autres. Ensuite, l’intégration du jeu sur une période
dans un cadre dynamique se fait par la répétition du jeu sur plusieurs périodes. Une approche
par Monte-Carlo est utilisée pour évaluer la probabilité pour un assureur d’être ruiné, de rester
leader, de disparaître du jeu par manque d’assurés en portefeuille. Ce chapitre vise à mieux
comprendre la présence de cycles en assurance non-vie.
Le chapitre 3 présente en profondeur le calcul effectif d’équilibre de Nash pour n joueurs
sous contraintes, appelé équilibre de Nash généralisé. Il propose un panorama des méthodes
d’optimisation pour la résolution des n sous-problèmes d’optimisation. Cette résolution se
fait à l’aide d’une équation semi-lisse basée sur la reformulation de Karush-Kuhn-Tucker du
problème d’équilibre de Nash généralisé. Ces équations nécessitent l’utilisation du Jacobien
généralisé pour les fonctions localement lipschitziennes intervenant dans le problème d’optimisation.
Une étude de convergence et une comparaison des méthodes d’optimisation sont
réalisées.
Enfin, le chapitre 4 aborde le calcul de la probabilité de ruine, un autre thème fondamental
de l’assurance non-vie. Dans ce chapitre, un modèle de risque avec dépendance entre les
montants ou les temps d’attente de sinistre est étudié. De nouvelles formules asymptotiques
de la probabilité de ruine en temps infini sont obtenues dans un cadre large de modèle de risques
avec dépendance entre sinistres. De plus, on obtient des formules explicites de la probabilité de
ruine en temps discret. Dans ce modèle discret, l’analyse structure de dépendance permet de
quantifier l’écart maximal sur les fonctions de répartition jointe des montants entre la version
continue et la version discrète.
Mots-clés: Comportement client, cycles de marché, théorie de la ruine, actuariat non-vie,
théorie des jeux, calcul d’équilibre de Nash généralisé, montants de sinistres dépendants