Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
Ce nouveau type d’asymptotique en A + B/u est démontré dans le théorème 4.3.1, dont
nous citons ci-dessous l’item 2 : si Θ suit une loi continue de densité fΘ telle que fΘ est presque
partout différentiable et Lebesgue intégrable, alors la probabilité de ruine vérifie
ψ(u) = FΘ(θ0) + fΘ(θ0)
u
1
+ o ,
u
où θ0 = λ/c et pour un capital initial u > 0. Remarquons qu’un résultat similaire peut
s’obtenir lorsqu’on ajoute l’hétérogénéité sur les temps d’attente inter-sinistres Ti plutôt que
les montants de sinistres Xi. Ce type d’asymptotique est nouveau par rapport à la littérature
actuelle, voir Asmussen et Albrecher (2010).
Dans un second temps, le chapitre 4 analyse une version en temps discret du modèle
de ruine. Ainsi, nous considérons des montants de sinistres de loi géométrique zéro-modifée
Ge(q, e−θ ) conditionnellement à l’événement Θ = θ. De nouveau, nous pouvons montrer qu’une
formule asymptotique pour la probabilité de ruine en A + B/u prévaut, voir le théorème 4.3.4.
Nous donnons ci-dessous l’item 2 de ce dernier : si Θ suit une loi continue de densité fΘ telle
bornée, alors la probabilité de
que fΘ est presque partout différentiable avec une dérivée f ′ Θ
ruine vérifie
ψ(u) = ¯ FΘ(θ0) + 1
qfΘ(θ0) 1
× + o
u + 2 1 − q
u + 2
où θ0 = − log(1 − q) et pour un capital initial u ≥ 0. Le chapitre se termine par une analyse
de la dépendance induite par l’approche mélange sur les montants de sinistres dans le modèle
en temps discret. Le cas discret pose des problèmes d’identifiabilité de la copule, qui sont
abordés dans la section 4.4. La proposition 4.4.6 quantifie la distance maximale en termes
de fonctions de répartition jointe des sinistres entre la version continue et la version discrète.
Des applications numériques sont proposées. Pour les modèles discrets, ce type d’approche par
mélange est là nouveau et permet d’obtenir de nouvelles formules fermées pour la probabilité
de ruine.
,
41