Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
Principaux résultats
De plus, une version dynamique du jeu est proposée en répétant le jeu simple sur plusieurs
périodes tout en mettant à jour les paramètres des joueurs et en tenant de compte de la
sinistralité observée sur la période t, c’est à dire nous étudions dans ce jeu Oj,t(xj,t, x−j,t) et
gj,t(xj,t). En temps infini, la proposition 2.4.1 démontre que le jeu se termine avec au plus
un gagnant. La proposition 2.4.2 donne un ordre stochastique sur le résultat de souscription
par police pour un assureur, permettant de mieux comprendre ce qui favorise la position d’un
leader. Enfin, par une approche Monte-Carlo, nous estimons la probabilité pour un joueur
d’être ruiné ou de se retrouver leader après un nombre fini de périodes sur un grand nombre
de simulation. Une cyclicité de la prime marché d’environ dix périodes est observée sur la
plupart des simulations. L’utilisation de la théorie des jeux non-coopératifs pour modéliser
des problématiques marché est relativement nouvelle : Taksar et Zeng (2011) utilise un jeu
continu à deux joueurs à somme nulle, tandis que Demgne (2010) se sert de modèles standards
de jeux économiques. Par conséquent, ce chapitre apporte une nouvelle preuve de l’utilité de
la théorie des jeux non-coopératifs dans la modélisation des marchés de l’assurance.
Calcul d’équilibres de Nash généralisés
Le chapitre 3 se compose de l’article Dutang (2012a). Ce chapitre montre que le calcul effectif
d’équilibre de Nash généralisé n’est pas limité aux seuls jeux à deux joueurs, comme c’est
généralement proposé dans les ouvrages de théorie des jeux. Nous nous intéressons aux jeux
généralisés les plus génériques et excluons les jeux généralisés conjointement convexes de notre
étude. D’une part, ce chapitre a pour but de faire un panorama des méthodes d’optimisation
les plus avancées pour calculer un équilibre de Nash généralisé pour un jeu à plusieurs joueurs.
Ces méthodes se basent sur une reformulation semi-lisse des équations de Karush-Kuhn-Tucker
du problème d’équilibre de Nash. Elles nécessitent l’utilisation du jacobien généralisé, une extension
du jacobien classique aux fonctions semi-lisses. D’autre part, nous passons en revue les
principaux théorèmes de convergence pour les méthodes de résolution d’équation semi-lisse et
étudions leur application dans le contexte des équilibres de Nash généralisé. Une comparaison
numérique de ces méthodes (notamment les méthodes de Newton et Broyden généralisées)
est réalisée sur un jeu test possédant plusieurs équilibres. Le panorama proposé dans ce chapitre
est à comparer à Facchinei et Kanzow (2009) étudiant les jeux généralisés (généraux et
conjointement convexes).
Asymptotiques de la probabilité de ruine
Enfin, le chapitre 4 basé sur l’article Dutang et al. (2012b) étudie une classe de modèles
de risque avec dépendance introduite par Albrecher et al. (2011). En temps continu, le modèle
de risque considéré est basé sur une approche mélange où les montants de sinistre Xi sont
conditionnellement indépendants et identiquement distribués de loi exponentielle E(θ) par
rapport la valeur d’une variable latente Θ. Ceci est équivalent à supposer que les montants
de sinistres ont une copule de survie archimédienne. Au sein de ce modèle, nous démontrons
l’existence d’une nouvelle forme d’asymptotique A+B/u pour la probabilité de ruine en temps
infini ψ(u).
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