Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
En prenant α = 1 − ρ, on retrouve la loi zéro modifiée. Les moments sont donnés par
2 1 − ρ
3 − α
1 − ρ
E(X) = p 1 + et V ar(X) = qρ + (1 − q)(1 − ρ) − p2 1 + .
1 − α
(1 − α) 2 1 − α
Pour cette dernière loi, le paramètre α contrôle la queue de distribution, tandis que les paramètres
q, ρ fixent la probabilité en 0 et 1 respectivement. Sur la figure 4, nous avons tracé un
exemple pour chacune des lois.
P(X=k)
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
Probability mass function
0 5 10 15
Figure 4 – Loi géométrique simple et modifiée
k
G(1/3)
G(1/6, 1/3)
G(1/7, 1/5, 1/3)
Le raisonnement de Sundt et dos Reis (2007) consiste à imposer une forme pour la probabilité
de ruine et ensuite de déduire la loi de sinistre correspondante. Ils supposent ψS(u) = kw −u
et trouvent que les sinistres doivent être de loi géométrique zéro et un modifés. Ils utilisent
l’équation de récurrence suivante obtenue à partir de la définition de la probabilité de ruine
en conditionnant par rapport au premier sinistre X1
qui peut être réécrite comme
u+1
ψS(u) = P (X1 > u + 1) + P (X1 = x)ψS(u + 1 − x),
x=0
ψS(u) = p ¯ u+1
F (u + 1) + qψS(u + 1) + p f(x)ψS(u + 1 − x),
où q = P (X1 = 0), p = P (X1 > 0), F (u + 1) = P (X1 ≤ u + 1|X1 > 0) et f(x) = P (X1 =
x|X1 > 0). Cela fonctionne correctement car en soustrayant astucieusement l’équation de
récurrence en u et u + 1, la somme disparait. Si nous choisissions une probabilité de ruine du
type α/(u + β), il est beaucoup plus difficile de retrouver la loi des sinistres. De cette manière,
ils obtiennent le résultat suivant.
Théorème (Sundt et dos Reis (2007)). Dans le modèle discret avec des sinistres géométriques
Ge(q, ρ, 1 − α), la probabilité de ruine a pour expression
u
(1 − q)(1 − ρ) 1 − q
ψS(u) = min
(1 − ρ) + α , 1 .
q(1 − α) q
x=1
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