Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
Introduction
A l’opposé, Shiu (1989) considère la ruine comme le premier instant t où le processus (Ut)t
devient strictement négatif
ψS(u) = P (inf(t ∈ N + , Ut < 0) < +∞|U0 = u).
Géométriquement parlant, ψG regarde le premier temps d’atteinte de l’axe des abcissses, tandis
que ψS considère le premier temps d’atteinte de la droite horizontale y = −1. Nous pouvons
facilement passer d’une définition à l’autre en changeant le capital initial, en utilisant la
relation ψG(u) = ψS(u − 1).
Pour le différencier de sa version continue, le processus de risque discret est générallement
affichée en deux composantes : les primes u + t et la perte agrégée t i=1 Xi. Sur la figure 3,
les primes sont traçées en pointillées, les sinistres en trait plein et les sinistres non-nuls sont
notés en lettre. Sur cette trajectoire, selon la définition de Shiu, la ruine intervient en t = 14,
tandis que selon la définition de Gerber, elle a lieu en t = 13.
u+t
X 1
cumul. premium
cumul. claim
ruins
X 2
X 3
t
∑
i=1
X i
X 5
X 6
X 8
Figure 3 – Une trajectoire du processus (Ut)t
Dans le cas de sinistre géométrique, P (X = k) = p(1 − p) k pour k ∈ N ∗ , la probabilité
de ruine peut s’obtenir facilement. Nous présentons ici une version améliorée de Sundt et dos
Reis (2007) utilisant la loi géométrique zéro et un modifiés. La loi géométrique zéro modifiée
a pour fonction de masse de probabilité
P (X = k) = qδ0,k + (1 − q)(1 − δ0,k)ρ(1 − ρ) k−1 ,
où δi,j est le produit de Kronecker. En prenant q = ρ, nous retrouvons la loi géométrique
simple. Quant à la version zéro et un modifée de la loi géométrique, les probabilités élémentaires
sont
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P (X = 0) = q = 1 − p et P (X = k/X > 0) = ρδk,1 + (1 − ρ)(1 − α)α k−2 (1 − δk,1).
∗. Certains auteurs présentent une version zéro tronquée p(1 − p) k−1 pour k ≥ 1.
X 9
X 10
X 11
X 12
X 13
X 14
Time t