Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
Dans un tel modèle, une copule archimédienne se cache entre les montants des sinistres.
En effet, la probabilité de survie est donnée par
Par conséquent,
P (X1 > ¯ F −1
X (u1), . . . , Xn > ¯ F −1
X (un)) =
P (X1 > x1, . . . , Xn > xn|Θ = θ) =
+∞
0
n
e −θxi .
i=1
e −θ n
i=1 ¯ F −1
X (ui) dFΘ(θ) = LΘ
n
i=1
¯F −1
X (ui)
où LΘ est la transformée de Laplace de la variable aléatoire Θ et ¯ FX la fonction de survie
de X. Il est facile d’identifier une structure archimédienne avec un générateur φ(t) = L −1
Θ (t).
Néanmoins, la dépendance a lieu sur la copule de survie, c’est à dire sur la fonction C(u)
définie par
P (U1 > u1, . . . , Un > un) = C(u1, . . . , un).
Albrecher et al. (2011) donnent trois résultats explicites de probabilités de ruine pour trois
lois. Par exemple, lorsque Θ est une loi gamma Ga(α, λ), alors on a
ψ(u) =
γ(α − 1, θ0λ)
Γ(α)
+ λα θ0
Γ(α) eθ0u Γ(α − 1, θ0(λ + u))
×
(λ + u) α−1 ,
où Γ(., .) est la fonction gamma incomplète supérieure. En utilisant un développement asymptotique
de cette fonction, voir par exemple Olver et al. (2010), on obtient
γ(α − 1, θ0λ)
ψ(u) = +
Γ(α)
λαθ0 Γ(α) eλθ0
1 1
+ o .
λ + u u
Cette formule laisse entrevoir une nouvelle forme d’asymptotique du type A + B/u + o(1/u).
En effet, le chapitre 4 va montrer que cette forme asymptotique est valable quelque soit la loi
pour Θ. Ce chapitre traitera en profondeur les asymptotiques de la probabilité de ruine ψ(u)
lié à ce modèle de dépendance.
Le modèle de risque en temps discret
Nous considérons une version discrète du processus de risque présenté jusqu’à présent. Le
modèle de ruine en temps discret, introduit par Gerber (1988), suppose que les primes, les
sinistres et les arrivées sont à valeurs discrètes. Par changement de l’échelle de temps, nous
supposons générallement que les primes sont normées à 1. Le processus de risque est le suivant
Ut = u + t −
t
Xi,
où les montants des sinistres sont à valeurs entières et la condition de profit net E(X) < 1.
Le modèle le plus simple considère des montants de sinistres indépendants et identiquement
distribués.
Gerber (1988) considère la ruine comme le premier instant t où le processus (Ut)t atteint
0. C’est à dire
ψG(u) = P (inf(t ∈ N + , Ut ≤ 0) < +∞|U0 = u).
i=1
,
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