Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
Introduction
Théorème (Albrecher et Teugels (2006)). Pour le processus de risque donné en équation
(12), avec des montants Xi et des temps d’attente de sinistre Ti identiquement distribués et
des queues de distribution légères. Notons γ le coefficient d’ajustement solution positive de
l’équation E(exp r(X − cT )) = 1, existant si la condition de profit net E(X) < cE(T ) est
vérifiée. On a alors
ψ(u) ∼
u→+∞ Ce−γu ,
où C = e −B /γE(SN exp(RSN)), N = inf(n > 0, Sn > 0), Sn la somme cumulée des incréments
et B une constante positive.
Albrecher et Teugels (2006) étudient ensuite l’équation de Lundberg pour différentes copules
: copules de Spearman, copule EFGM ou les copules Archimédiennes. Nous détaillons
ces dernières, qui vont être utilisées dans cette introduction et au chapitre 4.
Les copules archimédiennes sont caractérisées par un générateur φ : R+ ↦→ [0, 1], qui
est une fonction infinement différentiable et complètement monotone, c’est à dire, pour tout
k ∈ N, (−1) k φ (k) (t) ≥ 0. Une copule archimédienne est caractérisée de la manière suivante
C(u1, . . . , ud) = φ −1 (φ(u1) + · · · + φ(ud)) .
Les exemples les plus classiques sont la copule de Clayton φ(t) = (t −α − 1)/α, la copule de
Gumbel φ(t) = (− log t) α ou encore la copule de Frank φ(t) = log(e −α − 1) − log(e −αt − 1),
voir le chapitre 4 de Nelsen (2006).
Dépendance par mélange
Enfin, nous présentons un dernier type de dépendance introduit par Albrecher et al. (2011).
Cela consiste à introduire une dépendance dans la suite des sinistres, soit sur les montants
(X1, X2, . . . ) ou les temps d’attente de sinistres (T1, T2, . . . ) à l’aide d’une variable latente.
Soit Θ une variable aléatoire positive représentant une certaine hétérogénéité sur le portefeuille
d’assurance. Tout d’abord, nous supposons que les montants de sinistre Xi sont indépendants
et identiquement distribués conditionnellement à Θ = θ de loi exponentielle E(θ). De plus, les
temps d’attente sont eux-aussi de loi exponentielle λ et indépendents des montants de sinistre.
Conditionnellement à Θ = θ, c’est le modèle de Cramér-Lundberg. Ainsi, on a
λ
λ
ψ(u, θ) = min e−u(θ− c
θc )
, 1 ,
où le minimum utilisé ci-dessus est équivalent à la condition de profit net θ > λ/c. En intégrant
par rapport à la variable θ, on obtient
où θ0 = λ/c et
I(u, θ0) =
ψ(u) = FΘ(θ0) + I(u, θ0),
+∞
θ0
θ0
θ e−u(θ−θ0) dFΘ(θ).
Notons dès à présent que la probabilité de ruine est strictement positive quelque soit le niveau
de capital initial u.
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