Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
l’aide d’une copule bivariée (u1, u2) ↦→ C(u1, u2). Pour une dimension d fixée, une copule est
une fonction multivariée C : [0, 1] d ↦→ [0, 1] vérifiant certaines propriétés de manière à ce que C
puisse être interprétée comme une fonction de répartition d’un vecteur aléatoire (U1, . . . , Ud)
à marginale uniforme.
Définition. Soit C une fonction multivariée de [0, 1] d ↦→ [0, 1], où d ≥ 2 est une dimension
fixée. C est une copule si la fonction vérifie les propriétés suivantes :
1. ∀i ∈ {1, . . . , d}, ∀u ∈ [0, 1] d , C(u1, . . . , ui−1, 0, ui+1, . . . , ud) = 0,
2. ∀i ∈ {1, . . . , d}, ∀u ∈ [0, 1] d , C(1, . . . , 1, ui, 1, . . . , 1) = ui,
3. ∀i ∈ {1, . . . , d}, ∀u ∈ [0, 1] d , ∀(ai ≤ bi)i, ∆ 1 a1,b1 . . . ∆d ad,bd C(u) ≥ 0, où ∆i ai,bi
différence d’ordre i, c’est à dire
∆ i ai,bi C(u) = C(u1, . . . , ui−1, bi, ui+1, . . . , ud) − C(u1, . . . , ui−1, ai, ui+1, . . . , ud).
La propriété 3 est appelée croissance d’ordre d.
L’interprétation probabiliste d’une copule est la suivante
C(u1, . . . , ud) = P (U1 ≤ u1, . . . , Ud ≤ ud),
est la
où (Ui)i sont des variables aléatoires uniformes U(0, 1). Pour toute copule C, on a l’inégalité
suivante
W (u) = max(u1 + · · · + ud − (d − 1), 0) ≤ C(u1, . . . , ud) ≤ min(u1, . . . , ud) = M(u), (16)
où les bornes sont appelées bornes de Fréchet W, M. Les inégalités (16) donnent des bornes
inférieure et supérieure quelque soit la structure de dépendance considérée. Notons que M
est toujours une copule quelque soit la dimension d, tandis que W ne l’est qu’en dimension
d = 2. Une dernière copule particulière, qui a toute son importance, est la copule d’indépendance
Π(u) = u1 × · · · × ud. Cette copule sera une copule limite de la plupart des copules
paramétriques.
Un théorème fondamental liant un vecteur aléatoire avec des fonctions de répartition marginales
données à une copule est le théorème de Sklar (1959).
Théorème (Sklar (1959)). Soit F : R d ↦→ [0, 1] une fonction de répartition multivariée avec
des marginales F1, . . . , Fd, alors il existe une copule C telle que pour tout (x1, . . . , xd) ∈ R d ,
F (x1, . . . , xd) = C(F1(x1), . . . , Fd(xd)). C est unique sur l’ensemble S1 × · · · × Sd où Si est le
support de la i ème marginale.
Notons que si les variables aléatoires marginales sont des variables continues, alors la
copule est unique sur R d . Sinon elle n’est unique qu’en certains points. En supposant que C
est différentiable sur [0, 1] d , la densité de la loi jointe d’un vecteur aléatoire avec des marginales
de densité fi est donnée par
c(x1, . . . , xd) = ∂dC(F1(x1), . . . , Fd(xd))
f1(x1) . . . fd(xd).
∂u1 . . . ∂ud
Nous nous arrêtons ici pour la présentation des copules et renvoyons le lecteur vers les ouvrages
de référence : Marshall (1996),Joe (1997),Nelsen (2006).
Retournons à notre problème de ruine. Albrecher et Teugels (2006) montrent le théorème
suivant à l’aide de la marche aléatoire sous-jacente au processus de risques.
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