Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
Introduction
traitent le cas des lois à queue lourde. Les asymptotiques dans le cas des lois à queue légère
sont du type
ψi(u) ∼
u→+∞ Cie −γu ,
tandis que pour les lois de la classe sous-exponentielle avec Fi,X = FX
ψi(u) ∼
u→+∞ ai
+∞
u
¯FX(x)dx.
Nous renvoyons le lecteur vers les articles pour les expressions des constantes ai et Ci.
Les extensions précédentes au modèle de Sparre-Andersen se sont portées sur la modification
du processus de sinistres (Nt)t≥0. Nous présentons maintenant les extensions où on
suppose explicitement une dépendance entre le montant Xi et le temps d’attente Ti du i ème
sinistre. Albrecher et Boxma (2004) est un premier exemple où la densité du temps d’attente
du i + 1 ème sinistre dépend du montant du i ème sinistre. Ils supposent que
fTi+1 (x) = P (Xi > τi)λ1e −λ1x + P (Xi ≤ τi)λ2e −λ2x ,
où τi est une variable aléatoire représentant un seuil de gravité modifiant le temps d’attente
du sinistre. En d’autres termes, Ti est un mélange de loi exponentielle E(λ1), E(λ2) dont la
probabilité de mélange est P (Xi > τi). Les variables de seuil (τi) forment une suite de variables
aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Le processus de risque considéré est
maintenant un processus Markovien puisque le temps d’attente du i + 1 ème sinistre dépend
(uniquement) du montant du i ème sinistre, c’est à dire les incréments cTi − Xi ne sont plus
stationnaires ou indépendents.
La condition de profit net est E(X) < c(P (X > τ)/λ1 + P (X ≤ τ)/λ2), où X, τ sont les
variables génériques. Dans le cas d’une loi de sinistre à queue de distribution légère et si le
premier temps d’attente est de loi E(λj), nous pouvons obtenir une expression explicite de la
transformée de Laplace de la probabilité de survie conditionnelle 1 − ψj(u) sous la forme d’un
ratio de fonctions. Une inversion numérique de la transformée de Laplace est possible si la
transformée de Laplace est rationnelle. Le fait que la transformée de Laplace ait une unique
solution à partie réelle positive garantit une décroissance exponentielle de la probabilité de
ruine du type e −σu .
Dans la même idée, Boudreault et al. (2006) considèrent une structure de dépendance dans
laquelle les incréments cTi − Xi sont toujours indépendants et stationnaires. Mais les variables
(Xi, Ti) ne sont plus indépendantes : ils supposent que
f Ti
Xi (x) = e−βTi f1(x) + (1 − e −βTi )f2(x),
où f1, f2 sont deux densités.
Toujours en travaillant avec des lois de sinistre à queue légère, Boudreault et al. (2006)
expriment explicitement la transformée de Laplace en termes de ratios. Ils obtiennent une
expression explicite pour la fonction de Gerber-Shiu sous forme de combinaisons exponentielles
e Riu où Ri correspondent aux racines du dénominateurs de la transformée de Laplace.
Dépendance à l’aide des copules
Albrecher et Teugels (2006) s’intéressent aussi à une modélisation directe du couple (Xi, Ti)
et à l’impact sur la probabilité de ruine en temps fini et infini. La dépendance est modélisée à
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