Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
Albrecher et Asmussen (2006) utilisent les processus de Poisson non-homogènes où le paramètre
d’intensité (λt)t est aussi un processus stochastique. Plus précisement, il suppose que le
processus d’arrivée des sinistres (Nt)t≥0 a pour paramètre d’intensité le processus stochastique
suivant
λt = λ +
h(t − Un, Yn) + νt, (15)
n∈N
où λ > 0 une constante, (Un)n sont les temps d’occurrence d’un processus de Poisson de
paramètre ρ, (Yn)n une suite de variables aléatoires positives indépendantes et identiquement
distribuées, h(., .) une fonction positive et (νt)t est un processus stochastique représentant les
pertubations du passé.
Albrecher et Asmussen (2006) obtiennent différents résultats pour la probabilité de ruine
en temps fini et infini avec des sinistres à queue de distribution lourde et légère. Nous donnons
ici que deux de leurs résultats (théorèmes 4.2 et 5.2) et renvoyons le lecteur vers leur article
pour plus de détails.
Théorème (Albrecher et Asmussen (2006)). Considérons le processus de risque de l’équation
(12) où le processus d’arrivée (Nt)t≥0 a pour paramètre d’intensité le processus de l’équation
(15). Nous supposons que la condition de profit net est vérifiée par c > E(X)µ, où µ =
λ + ρE(H(∞, Y )) et H(t, y) = t
0 h(s, y)ds.
Supposons que les montants des sinistres (Xi)i possèdent une fonction génératrice des
moments MX(α) pour α > 0 proche de 0, que le processus (νt)t vérifie
log E exp((MX(α) − 1) t
0 νsds)
t
→ 0,
lorsque t tend vers +∞, et que E(exp(αH(∞, Y ))) existe pour α > 0. On a alors
ψ(u) ∼
u→+∞ e−γu ,
où γ est la solution positive d’une certaine équation κ(α) = 0 avec κ une fonction de MX(α).
Si les montants des sinistres (Xi)i appartiennent à une classe sous-exponentielle et que
pour α > 0, E(exp(αH(∞, Y ))) et E(exp(α t
0 νsds)) existent, alors on a
ψ(u) ∼
u→+∞
+∞
µ
(c − µ)E(X) u
¯FX(x)dx.
Malgré l’augmentation de la variabilité sur le processus de risque et bien que la probabilité
de ruine ait augmentée, la forme des asymptotiques demeurent inchangée par rapport au
modèle de Sparre Andersen.
Dans le même esprit, Asmussen (1989), Asmussen et Rolski (1991), Asmussen et al. (1994)
considèrent un processus d’arrivée des sinistres controlé par un processus Markovien (Jt)t à
valeurs finies. Conditionnellement à Jt = i, le taux de prime est ci, la loi des sinistres est Fi,X,
et le taux d’arrivées de sinistre λi. Cela correspond aussi un processus de Poisson doublement
stochastique de processus d’intensité (λJt)t.
Notons ψi(u) la probabilité de ruine sachant J0 = i. Asmussen (1989),Asmussen et Rolski
(1991) fournissent des formules exactes (à l’aide des lois phase-type) et des asymptotiques dans
le cas de lois de sinistres à queue de distribution légère, tandis que Asmussen et al. (1994)
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