Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
ruine décroît exponentiellement vite. Une question légitime est donc de savoir si ce principe
est- toujours respecté pour des lois à queue de distribution plus épaisse.
Jusqu’ici les lois de sinistre X étaient telles que la fonction génératrice des moments
MX(t) = +∞
0 etxd ¯ FX(x) existait pour certains t > 0. Cette classe est appelée la classe
des lois à queue de distribution légère. De nombreuses lois n’appartiennent pas à cette classe,
c’est à dire MX(t) est infini pour t > 0, par exemple, la loi lognormale, la loi de Weibull ou
encore la loi de Pareto.
Comme la classe des lois pour lesquelles il n’existe pas de lois de fonction de génératrice de
moments est vaste et peu explicite, la classe de lois sous-exponentielles a été introduite. Une
fonction de répartition FX appartient à la famille sous-exponentielle si pour deux variables
aléatoires X1, X2 indépendantes et identiquement distribuées de fonction de répartition FX,
elles vérifient
P (X1 + X2 > x)
−→
P (X1 > x) x→+∞ 2.
Pour mieux comprendre cette définition, il est de bon rappeler que pour toute variable aléatoire
positive X, on a P (max(X1, X2) > x) ∼ 2 ¯ FX(x) lorsque x → +∞. Par conséquent, la classe
des lois sous-exponentielle est telle que P (X1 + X2 > x) ∼ P (max(X1, X2) > x) pour des
grandes valeurs de x. La propriété se généralise pour une somme de n variables indépendantes.
En théorie de la ruine, l’application des lois sous-exponentielle a été faite par Teugels et
Veraverbeke (1973) ou encore Embrechts et Veraverbeke (1982). Pour cette classe de montant
de sinistre, la probabilité de ruine décroît comme l’inverse d’un polynome. Nous rapportons
ci-dessous la version proposée dans Asmussen et Albrecher (2010).
Théorème (Embrechts et Veraverbeke (1982)). Dans le modèle de Sparre Andersen, où les
espérances des montants (Xi)i et des temps d’attente des sinistres (Ti)i sont finis et tels que
E(X) < cE(T ). Notons FX,0(x) = x
0 F X(y)dy/E(X). Si FX et FX,0 appartiennent à la classe
sous-exponentielle, on a alors
ψ(u) ∼
u→+∞
+∞
1
cE(T ) − E(X) u
¯FX(y)dy.
Ce théorème donne lieu aux cas particuliers suivant. Considérons des montants de sinistre
Pareto Pa(k, α), c’est à dire P (X > x) = (k/x) α avec α > 1. On a alors
ψ(u) ∼
u→+∞
k
cE(T )(α − 1) − αk
α−1 k
.
u
De manière similaire, pour les lois à variations régulières dont les queues de distribution
vérifient P (X > x) ∼ L(x)/x α pour des grandes valeurs de x et L une fonction à variation
lente, telle que L(xt)/L(x) → 1 pour t > 0 et x → +∞, nous obtenons
ψ(u) ∼
u→+∞
1
cE(T ) − E(X) ×
L(u)
.
(α − 1)uα−1 Lorsque X suit une loi de Weibull avec P (X > x) = exp(−x β ) (resp. une loi lognormale P (X >
x) = 1 − Φ((log x − µ)/σ)), alors on a ψ(u) ∼ u1−βe−uβ (resp. ψ(u) ∼ ue− log2 (u) 2
/ log (u)).
Toutes ces formules, sauf celle pour le cas Weibull, présentent une décroissance en puissance
de u du type C/uα , qui contraste nettement avec une décroissance exponentielle pour les lois
à queue légère Ce−γu .
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