Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
Introduction
est la loi du temps d’absorption du processus (Mt)t dans l’état 0 partant d’un état initial de
l’ensemble {1, . . . , m}.
Ces lois sont paramétrées par une matrice de sous-intensité J, une dimension m et un
vecteur de probabilité initial π ∈ [0, 1] m . La matrice d’intensité Λ du processus sous-jacent
(Mt)t est donnée par la matrice par bloc
Λ = (λij)ij =
0 0
j0 J
où j0 est le vecteur des intensités de sortie j0 = −J1m et 1m le vecteur rempli de 1 de R m .
Cela signifie que les probabilités de changement d’état du processus (Mt)t sont donnés par
P (Mt+h = j/Mt = i) = λijh + o(h) si i = j et 1 + λiih + o(h) si i = j avec des probabilités
initiales P (M0 = i) = πi.
Pour de telles lois phase-type P H(π, J, m), les fonctions de répartition et de densité sont
données par
F (x) = 1 − πe Jx 1m, et f(x) = πe Jx j0,
où eJx correspond à l’exponentielle de matrice définie la série +∞
n=0 T nxn n! , voir Moler et
Van Loan (2003) pour une revue récente de son calcul. La loi exponentielle E(λ) est obtenue
par la paramétrisation P H(1, λ, 1), le mélange de n lois exponentielles est obtenue
par P H(m, π, J) où m = n, π = (p1, . . . , pn), et une matrice de sous-intensité diagonale
J = −diag[(λ1, . . . , λn)].
Les lois phase-type P H(π, J, m) font partie des lois à queue de distribution légère, au
même titre que la loi exponentielle, la loi gamma, au vue de la décroissance exponentielle de
sa queue de distribution. Ainsi, la fonction génératrice des moments et le moment d’ordre n
possèdent des formules explicites. Dans ce contexte, Asmussen et Rolski (1991) proposent des
formules explicite de probabilité de ruine lorsque les montants des sinistres (Xi)i et les temps
d’inter-occurrence (Ti)i sont de lois phase type.
Théorème (Asmussen et Rolski (1991)). Dans le modèle de Cramér-Lundberg, lorsque les
montants des sinistres sont phase-type P H(π, J, m), la probabilité de ruine est donnée par
ψ(u) = π+e Qu 1m,
où la matrice s’écrit Q = J +j0π+, le vecteur π+ = −λ/cπJ −1 et j0 = −J1m est le vecteur des
taux de sortie. En d’autre termes, la probabilité de ruine admet une représentation phase-type
P H(π+, Q, m).
Dans le modèle de Sparre Andersen, lorsque les temps d’inter-occurrence ont une fonction
de répartition FT , la probabilité de ruine admet toujours une représentation phase-type
P H(π+, Q, m) mais π+ est la solution de l’équation de point fixe
π+ = πMT (J + j0π+),
où MT correspond la fonction génératrice des moments (avec un argument matriciel).
Une loi de probabilité admet une représentation phase-type s’il existe une fonction génératrice
des moments rationnelle, voir, par exemple, Hipp (2005). Nécessairement, une loi
phase-type a une queue de distribution légère. Ainsi, le théorème montre pour la grande classe
des lois phase-type ∗ de montant de sinistre à queue distribution légère, que la probabilité de
∗. Comme l’ensemble des lois phase-type est dense dans l’ensemble des lois de probabilité à support positif,
il est possible en théorie approcher à n’importe quel lois à support positif pour un degré de précision donné.
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