Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
Théorème. Dans le modèle de Cramér-Lundberg avec des sinistres de loi exponentielle E(1/µ)
(de moyenne µ),
ψ(u) = λµ
c e−u(1/µ−λ/c) ,
si la condition de profit net est vérifiée ρ = c − λµ > 0.
Cette formule de probabilité de ruine a la caractéristique de décroitre exponentiellement
en fonction du capital initial u. Cette propriété est vérifiée pour une large classe de modèles
de sinistres. Plus précisément, la décroissance exponentielle est encore valide si la loi des
sinistres (Xi)i possède une fonction génératice des moments MX(t) = E(e tX ) pour t > 0.
Nous regroupons ici les théorèmes IV.5.2 et IV.5.3 d’Asmussen et Albrecher (2010).
Théorème (Borne et approximation de Cramér-Lundberg). Soit γ la solution strictement
positive de l’équation (en r) de Lundberg
On a alors pour tout u ≥ 0
λ
MX(r) = 1.
λ + rc
ψ(u) ≤ e −γu et ψ(u) ∼
u→+∞ Ce−γu ,
où la constante C est donnée par C = (c − λµ)/(λM ′ X (γ) − c), e−γu est appelée borne de
Lundberg, Ce −γu approximation de Lundberg et γ coefficient d’ajustement.
La décroissance exponentielle est aussi constatée dans le modèle de Sparre Andersen où
le processus du nombre de sinistres (Nt)t≥0 (de l’équation (12)) est un processus de renouvellement.
Les temps d’inter-occurrence des sinistres (Ti)i sont indépendants et identiquement
distribués selon une variable générique T . Nous rapportons ci-dessous une extension du théorème
de Cramér-Lundberg pour le modèle de Sparre Andersen, voir, par exemple, théorème
6.5.4 de Rolski et al. (1999).
Théorème. Dans le modèle de Sparre Andersen, notons Y les incréments de la perte agrégée
Y = X − cT . x0 est défini comme le supremum de l’ensemble {x, FY (x) < 1}. Pour u ≥ 0,
nous disposons de l’encadrement suivant
b−e −γu ≤ ψ(u) ≤ b+e −γu ,
où γ est solution de l’équation MX(r)MT (−rc) = 1, les constantes b−, b+ ont pour expression
b− = inf
x∈[0,x0[
eγxFY ¯ (x)
+∞
x eγyd ¯ FY (y) et b+
e
= sup
x∈[0,x0[
γxFY ¯ (x)
+∞
x eγyd ¯ FY (y) .
En plus de ces asymptotiques, d’autres formules explicites de probabilité de ruine sont
disponibles pour d’autre lois de sinistres, notamment les mélanges de lois exponentielles, les
lois Erlang (c’est à dire loi gamma avec un paramètre de forme entier), les mélanges de lois
Erlang. Ces lois font partie de la grande classe des lois phase-type introduite par Neuts (1975),
et popularisée dans la théorie des files d’attente par notamment Neuts (1981).
Soit m ∈ N ⋆ un entier positif. Considérons un processus de Markov (Mt)t en temps continu
et à valeurs dans l’ensemble fini {0, 1, . . . , m}, où 0 est un état absorbant. Une loi phase-type
27