Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
Introduction
Surplus U t
X 1
X 2
T1 T2 T3 T4 T5 T6 X6 X 3
Figure 2 – Une trajectoire du processus (Ut)t
Processus de risque à accroissements indépendants et stationnaires
La théorie de la ruine cherche à déterminer le taux de prime c et le niveau de capital u
répondant à un critère de ruine. Pour éviter la ruine certaine, le taux de prime c doit déjà
vérifier la contrainte dite de profit net. Celle-ci est déduite de la proposition suivante, voir la
proposition IV.1.2 d’Asmussen et Albrecher (2010).
Proposition (Dérive et oscillation). Dans le modèle de Cramér-Lundberg avec des sinistres
indépendants et identiquement distribués d’espérance E(X), notons ρ = c − λE(X) le gain
espéré par unité de temps. On a presque sûrement
Si ρ > 0, alors presque sûrement
lim
t→+∞
Ut − u
t
= ρ.
lim
t→+∞ Ut = +∞,
c’est à dire la ruine n’est pas certaine, ψ(u) < 1. Dans le cas contraire, si ρ < 0, alors presque
sûrement
lim
t→+∞ Ut = −∞,
c’est à dire la ruine est certaine ψ(u) = 1. Dans le cas particulier, où ρ = 0, la ruine est aussi
certaine, puisque le processus (Ut)t vérifie
lim sup
t→+∞
Ut = +∞, et lim inf
t→+∞ Ut = −∞.
La condition de profit net ρ > 0 peut se réécrire c = (1 + η)λE(X) avec un chargement
η > 0. Nous pouvons maintenant énoncer la première formule fermée pour la probabilité de
ruine dans le modèle de Cramér-Lundberg, voir le corollaire IV.3.2 d’Asmussen et Albrecher
(2010).
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X 4
X 5
Time t