Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
Théorie de la ruine
La théorie du risque s’intéresse à tous les aspects d’un portefeuille d’assurance non-vie,
tarification, provisionnement, gestion du risque, etc. . . , voir, par exemple,Bowers et al. (1997),
Marceau (2012). La théorie de la ruine se concentre sur la solvabilité à moyen et long terme
d’un assureur. Nous présentons ci-dessous les grands résultats de la théorie de ruine sans
preuve et renvoyons le lecteur vers les ouvrages de référence : Grandell (1991),Rolski et al.
(1999),Asmussen (2000),Asmussen et Albrecher (2010). Nous suivrons plus particulièrement
la présentation d’Asmussen et Albrecher (2010).
L’étude du niveau de richesse d’une compagnie d’assurance, introduite par Lundberg
(1903), est une problématique centrale de la théorie de la ruine. Au début du XXème siècle,
l’école Suédoise pose les fondamentaux de cette théorie, sous l’impulsion de Filip Lunderg puis
d’Harald Cramér. Cramér (1930) propose le modèle collectif (plus tard appelé le modèle de
Cramér-Lundberg) dans lequel la richesse de l’assureur (Ut)t au temps t est modélisée par le
processus stochastique suivant
Nt
Ut = u + ct − Xi, (12)
où u > 0 est le capital initial, c > 0 le taux de prime par unité de temps, (Nt)t≥0 représentant
le nombre de sinistres au temps t et Xi le montant du i ème sinistre. Notons St = Nt
i=1 Xi la
perte agrégée au temps t.
Dans le modèle de Cramér-Lundberg, les hypothèses suivantes sont faites : (i) les montants
des sinistres (Xi)i sont indépendants et identiquement distribués, (ii) les montants sont
indépendants de Nt, (iii) (Nt)t≥0 un processus de Poisson (d’intensité λ). Notons (Ti)i les
temps d’attente entre deux sinistres. Pour un processus de Poisson, les temps (Ti)i sont de
lois exponentielles E(λ).
Définition. La probabilité de ruine (en temps infini) est définie comme étant le premier
instant où le processus de richesse (Ut)t est strictement négatif
i=1
ψ(u) = P (∃t ≥ 0, Ut < 0). (13)
De manière similaire, on définit la probabilité de ruine en temps fini par
où T > 0 est l’horizon de gestion.
ψ(u, T ) = P (∃t ∈ [0, T ], Ut < 0), (14)
Un exemple de trajectoire du processus (Ut)t est donné en figure 2, où les temps d’interoccurrence
sont de loi exponentielle E(3), les sinistres de loi exponentielle E(2) et le taux de
prime c = 2. Le capital initial u est le point de départ du processus, la pente est donnée par
le taux de prime c, représentant l’acquisition des primes au cours du temps. Ensuite chaque
sinistre Xi produit un saut vers le bas. Sur cet exemple, la ruine intervient au bout du 6 ème
sinistre.
Le modèle de Cramér-Lundberg a rapidement été généralisé en considérant des processus
de renouvellement pour (Nt)t≥0 par Andersen (1957), plus tard appelé modèle de Sparre
Andersen. Ainsi, les temps d’inter-occurrence ne sont plus nécessairement de loi exponentielle
mais simplement indépendants et identiquement distribués. Le lien avec la théorie des files
d’attente est encore plus clair que dans le modèle de Cramér-Lundberg.
25