Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
Introduction
Des exemples de structure d’information sont similaires à ceux définis pour les jeux répétés :
boucle ouverte (ou open-loop) η i t = {x1}, feedback ou markovien η i t = {x1, xt} et boucle fermée
(ou closed-loop) η i t = {x1, . . . , xt}. Une stratégie pour le joueur i est donc un ensemble de
fonctions (γ i t)t spécifiant l’action à jouer γ i t(η t i ) en t pour une information ηt i .
Pour simplifier, la fonction de coût L i a généralement une forme additive
L i ((u 1 t , . . . , u N t )t) =
T
t=1
g i t(xt+1, u 1 t , . . . , u N t , xt).
Un équilibre de Nash dans un tel jeu est un ensemble de fonctions γ ⋆ tel que pour tout
η t i ∈ XIt × U 1 1 × · · · × U I t , et pour toute fonction γ i t : X × S1 × · · · × St−1 ↦→ U i t ,
L i γ 1⋆ t i⋆
t η1 , . . . , γt η t i
N⋆ t
, . . . , γt ηN t
≤ L i γ 1⋆
t
t i t N⋆ t
η1 , . . . , γt ηi , . . . , γt ηN . t
Nous parlons d’équilibre de Nash open-loop, feedback ou closed-loop suivant la structure d’information
choisie. Dans le cas d’équilibre de Nash open-loop, le jeu se réduit à un jeu statique
puisque la variable d’état xt n’a pas d’incidences sur les actions choisies. La stratégie optimale
est obtenue à l’aide de la théorie du contrôle optimal et de la programmation dynamique, voir
théorème 6.1 de Basar et Olsder (1999). Dans le cas des stratégies feedback et closed-loop, des
équations rétrogrades du même type donnent des conditions d’optimalités, voir théorèmes 6.5
et 6.6 de Basar et Olsder (1999).
Modèle de compétition en assurance non-vie
Nous présentons dans cette sous-section brièvement le jeu répété du chapitre 2. Considérons
un marché d’assurance non-vie composé de I assureurs. Chaque assureur propose des
couvertures d’assurance à une population de n ≫ I clients. Connaissant la sinistralité passée,
au temps t, le jeu consiste à fixer un prix de police. Notons xj,t le prix proposé par l’assureur
j au temps t et nj,t le nombre de clients en portefeuille pour la période t. La séquence de jeu
pour la période t est la suivante
1. Les assureurs maximisent leur fonction objective
sup
xj,t
Oj,t(xj,t, x−j,t) tel que gj,t(xj,t) ≥ 0,
où gj,t(xj,t) ≥ 0 représente la contrainte de solvabilité, fonction du capital Kj,t−1..
2. Une fois la prime d’équilibre calculée x ⋆ t , les assurés choisissent de résilier ou de renouveler
leur contrat selon une loi multinomiale logit de vecteur de probabilité pl→j(x ⋆ t ). Une
réalisation nj,t de la taille de portefeuille est obtenue.
3. Ensuite, les sinistres pour chaque assuré sont tirés aléatoirement selon un modèle fréquence
– sévérité.
4. Enfin, on détermine le résultat de souscription et en déduit le nouveau capital disponible
Kj,t.
Le chapitre 2 analyse les propriétés statiques et dynamiques de ce jeu répété. Nous renvoyons
au prochain chapitre de l’introduction pour plus de détails sur les résultats obtenus.
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