Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
où δ est facteur d’actualisation. Cette somme permet de caractériser différentes situations
suivant la valeur du facteur d’actualisation δ < 1 vs. δ = 1 et le nombre de période T < ∞
ou T = ∞. Un équilibre de Nash pour le jeu répété est un ensemble de profils (σ⋆ 1 , . . . , σ⋆ I ) tel
que pour tout joueur i
Gi(σ ⋆ 1, . . . , σ ⋆ i , . . . , σ ⋆ I ) ≥ Gi(σ ⋆ 1, . . . , σi, . . . , σ ⋆ I ),
pour tout profil σi. Les jeux répétés possèdent néanmoins des difficultés qui leur sont propres :
les profils de stratégie σi appartiennent à un espace de dimension infinie, les équilibres de Nash
du jeu ordinaire (le constituant) ne sont pas forcément des équilibres pour les jeux répétés.
La litérature académique s’intéresse à caractériser l’ensemble des coûts totaux possibles Gi.
On définit pour ce faire l’ensemble des gains possibles par l’enveloppe convexe de l’ensemble
des gains possibles
co (O1, . . . , OI) ∈ R I , ∀i ∈ E, ∀xi ∈ Xi, Oi = Oi(x1, . . . , xI) ,
et l’ensemble des gains individuellement rationnels
R = gi ∈ R, gi ≥ min
m−i∈M(Xi) max
Oi(xi, m−i)
xi∈Xi
,
où M(Xi) représente l’ensemble des stratégies mixtes sur l’ensemble fini Xi et mi une stratégie
mixte, c’est à dire un vecteur de probabilité. Maintenant, nous pouvons présenter les “folk”
théorèmes.
Théorème (Folk théorème). Pour un jeu répété infiniment et sans actualisation, c’est à
dire T = ∞ et δ = 1, l’ensemble des gains d’équilibre est l’ensemble des gains possibles et
individuellement rationnels.
Des versions du “folk” théorème existent dans le cas d’un jeu actualisé représentant des
joueurs plus ou moins impatients et/ou d’un jeu répété un nombre fini de fois, voir Osborne
et Rubinstein (2006); Tomala et Gossner (2009).
Jeux à temps discret
Enfin, nous présentons les jeux dynamiques en temps discret avec équation d’état en se
basant sur le chapitre 5 de Basar et Olsder (1999). Pour définir de tels jeux, nous introduisons
les notations suivantes : un nombre de joueurs I, un nombre d’étapes T , un espace d’état
X ⊂ Rd , des espaces d’actions U i t ⊂ Rmi . Dans cette sous-section, les actions des joueurs ne
sont plus notées xi mais ut i ∈ U t i pour la période t.
Définition. Un jeu dynamique en temps discret est caractérisé par une équation d’état initialisée
par x1 ∈ X
xt+1 = ft(xt, u 1 t , . . . , u I t ),
pour une fonction ft : X × U 1 t × · · · × U I t ↦→ X, des fonctions coûts Li : S1 × · · · × ST ↦→ R,
}, et un
où St = X × U 1 t × . . . U I t , une structure d’information ηt i ⊂ {x11 , . . . , xIt , u1 1 , . . . , uIt−1 ensemble de fonctions γi t : X × S1 × · · · × St−1 ↦→ U i t .
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