Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
La qualification de contrainte (CQ) d’indépendance linéaire (LICQ) est satisfaite lorsque
l’ensemble des gradients des contraintes actives, {∇g i j (x), i ∈ Ai(x)}, est linéairement indépen-
dant. La qualification de contrainte de Slater (SCQ) est satisfaite lorsque toutes les contraintes
actives sont strictement actives, c’est à dire λi⋆ j > 0 et gi j (x) = 0 pour tout j ∈ Ai(x).
En pratique, des critères simples permettent de vérifier de telles conditions : (i) les contraintes
sont toutes linéaires, (ii) les contraintes sont convexes et (iii) les contraintes ont un gradient
non nul lorsqu’elles sont actives. Nous renvoyons le lecteur vers le chapitre 12 de Nocedal et
Wright (2006) et Arrow et Enthoven (1961).
Maintenant, nous avons les éléments pour présenter un résultat d’unicité pour une sousclasse
d’équilibres de Nash. Rosen (1965) s’intéresse aux jeux conjointement convexes où les
fonctions contraintes gi sont communes à tous les joueurs, c’est à dire g1 = · · · = gI = g0 :
R ↦→ Rm0 . Ainsi, les ensembles de stratégies sont tels que pour tout i ∈ E,
Ci(x−i) = {xi ∈ Xi, g 0 (x1, . . . , xi, . . . , xI) ≤ 0}.
L’ensemble global des actions possibles se simplifie
K = {x ∈ X, ∀i ∈ E, xi ∈ Ci(x−i)} = {x ∈ X, g 0 (x) ≤ 0}.
De plus, Rosen (1965) suppose que la fonction g 0 est convexe pour garantir la convexité
de cet ensemble K. Les I systèmes (10) pour ce cas particulier se simplifient légèrement en
remplaçant g i par g 0 et λ i⋆ ∈ R m0 . Rosen (1965) définit un équilibre de Nash normalisé pour
les jeux conjointement convexes lorsque x ⋆ vérifie les I systèmes (10) tels qu’il existe λ ⋆ ∈ R m0
et ri > 0,
λ i⋆ = λ 0⋆ /ri. (11)
En d’autres termes, les multiplicateurs de Lagrange λ i⋆ de chaque joueur i sont reliés par un
seul multiplicateur de Lagrange λ 0⋆ commun à tous les joueurs et le paramètre r ∈]0, +∞[ I .
r s’interprète comme un paramètre d’échelle sur les fonctions objectives Oi.
Théorème (Rosen (1965)). Soit un jeu conjointement convexe à I joueurs, où la fonction
contrainte g 0 est convexe. Si les fonctions objectives Oi sont convexes alors pour tout r ∈
]0, +∞[ I , il existe un équilibre de Nash généralisé vérifiant (11).
Si de plus, pour r = ¯r > 0 donné, l’inéqualité suivante est vérifiée
pour gO définie par
(x − y) T gO(y, ¯r) + (y − x) T gO(x, ¯r) > 0, ∀x, y ∈ R n ,
gO(x, r) =
⎛
⎜
⎝
r1∇x1 O1(x)
.
rI∇xI OI(x)
⎞
⎟
⎠ ,
alors l’équilibre de Nash généralisé vérifiant (11) est unique pour r = ¯r.
Ce théorème de Rosen (1965) garantissant l’unicité d’équilibre de Nash généralisé est très
similaire au théorème équivalent pour les équilibres de Nash simples, mais à une différence
importante, l’équilibre de Nash généralisé dépend de la valeur du coefficient r. Cette classe
d’équilibre de Nash vérifiant l’équation vérifiant (11) est appelée l’ensemble des équilibres
normalisés. Depuis l’introduction des équilibres normalisés, un consensus sur le choix du paramètre
r semble être formé (voir, par exemple, Harker (1991); Facchinei et Kanzow (2009);
21