Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
Introduction
Cependant, il est plus ardu de montrer la semicontinuité inférieure d’une correspondance.
Rockafellar et Wets (1997) suppose l’existence d’un point à l’intérieur du domaine de contraintes,
c’est à dire ∃(¯xi, ¯x−i) ∈ Xi × X−i, g i (¯xi, ¯x−i) > 0. Mais en utilisant le théorème 13 de Hogan
(1973), nous avons une condition plus faible.
Proposition (Hogan (1973)). Soit Ci : X−i ↦→ 2 Xi la correspondance de contrainte du jeu
généralisé. Soit Ci définie par Ci(x−i) = {xi ∈ Xi, g i (xi, x−i) > 0}. Si les composantes de g i
sont semicontinues (c’est à dire fermeture de l’épigraphe) et si Ci(¯x−i) ⊂ cl( Ci(¯x−i)), alors
Ci est l.s.c.
Par conséquent, si les fonctions contraintes g i sont continues alors Ci est bien semicontinue
inférieurement et supérieurement. Néanmoins, nous devons aussi garantir que Ci renvoie des
ensembles convexes, fermés et non-vides. Si les fonctions xi ↦→ g i (xi, x−i) sont quasiconvexes,
alors la convexité est garantie. En effet, la quasiconvexité d’une fonction f est équivalente à ce
que tous les ensembles Uf (r) = {x ∈ X, f(x) ≥ r} soient convexes pour tout r, voir Diewert
et al. (1981). La continuité de g i va garantir la fermeture des ensembles. Mais, il est difficile
de trouver des conditions garantissant que les ensembles Ci(¯x−i) soient non-vides, autres que
de garantir l’existence d’un point (¯xi, ¯x−i) ∈ Xi × X−i, g i (¯xi, ¯x−i) > 0 pour tout x−i.
L’unicité de l’équilibre de Nash généralisé est un sujet nettement plus complexe que pour
les équilibre de Nash standard. Pour appréhender ce problème, nous devons introduire les
conditions d’optimisation du premier ordre des I sous-problèmes.
En supposant que les fonctions objectives Oi et contraintes g i soient continûment différentiable,
les conditions nécessaires de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) pour le sous-problème
d’équation (9) sont données ci-dessous. Si x ⋆ résout le problème (9) pour tout i ∈ E et que
pour chaque joueur, une qualification des contraintes est satisfaite, alors pour tout i ∈ E, il
existe un multiplicateur de Lagrange λ i⋆ ∈ R mi tel que
∇xi θi(x ⋆ ) +
1≤j≤mi
λ i⋆
j ∇xi gi j(x ⋆ ) = 0 (∈ R ni ).
0 ≤ λ i⋆ , −g i (x ⋆ ) ≥ 0, g i (x ⋆ ) T λ i⋆ = 0 (∈ R mi ).
Pour que les conditions KKT soient aussi suffisantes, il faut requérir des conditions supplémentaires.
Celles-ci sont données dans le théorème 4.6 de Facchinei et Kanzow (2009).
Théorème. Soit un problème d’équilibre de Nash généralisé vérifiant l’équation (8) et telles
que les fonctions objective et contrainte soient continûment différentiable.
(i) Si x ⋆ est un équilibre de Nash généralisé et que tous les sous-problèmes (9) satisfassent
une qualification de contrainte, alors il existe λ ⋆ ∈ R m tel que x ⋆ , λ ⋆ résolvent les I
systèmes (10).
(ii) Si x ⋆ , λ ⋆ résolvent les I systèmes (10), que les fonctions xi ↦→ Oi(x) sont pseudoconvexes
et que les ensembles Ci(x−i) sont fermés et convexes, alors x ⋆ résout un équilibre
de Nash généralisé.
Jusqu’ici nous n’avons pas explicité les contraintes de qualification, nous le faisons cidessous.
Les contraintes de qualification ont pour but d’assurer que la version linéarisée
de l’ensemble contraint est une bonne approximation locale de l’ensemble original (nonlinéaire)
contraint. L’ensemble des contraintes actives au point x se définit par Ai(x) = {j =
1, . . . , mi, gi j (x) = 0}. Deux contraintes de qualification sont très utilisées, nous les énonçons
ci-dessous.
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