Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
exemples typiques de correspondances sont F : x ↦→ [−|x|, |x|] ; l’inverse d’une fonction f,
F : x ↦→ f −1 (x).
Maintenant, nous définissons deux types de continuités pour les correspondances : semicontinuité
inférieure et supérieure, abrégées l.s.c. et u.s.c.. Dans la littérature, deux définitions
s’opposent : la semicontinuité au sens de Berge (voir (Berge, 1963, page 109)) et la semicontinuité
au sens de Hausdorff (voir (Aubin et Frankowska, 1990, page 38-39)).
Cependant, ces définitions sont équivalentes si la correspondance F est à valeur compacte.
Dans ce cas, les semicontinuités u.s.c/l.s.c se caractérisent sur le graphe de F . Nous rapportons
ici ces définitions, voir Hogan (1973).
Définition. F est semicontinue supérieurement (u.s.c.) en x, si ∀(xn) ∈ X N , xn → x, ∀yn ∈
T (xn), et ∀y ∈ Y,
yn → y ⇒ y ∈ T (x).
F est semicontinue inférieurement (l.s.c.) en x, si ∀(xn)n ∈ X N , xn → x, ∀y ∈ T (x), ∃(yk) ∈
Y N et ∀k ∈ N,
yk ∈ T (xk) et yk → y.
F est semicontinue supérieurement (resp. inférieurement) sur X, si F est semicontinue supérieurement
(inférieurement) en tout point de X.
Introduisons maintenant la correspondance de contraintes liés aux équilibres de Nash généralisés
Ci : X−i ↦→ 2 Xi représentant les contraintes du joueur i par
Ci(x−i) = {xi ∈ Xi, g i (xi, x−i) ≤ 0}.
Nous pouvons maintenant énoncer le théorème d’existence.
Théorème (Ichiishi (1983)). Soit un jeu à I joueurs caractérisé par des espaces de stratégies
Xi ⊂ R ni , des correspondances de contrainte Ci et des fonctions objectives Oi : R ni ↦→ R. Si
pour tout joueur i, on a
– Xi est non vide, convexe et compact,
– Ci est u.s.c. et l.s.c. sur X−i,
– ∀x−i ∈ X−i, Ci(x−i) est non vide, fermé et convexe,
– Oi est continue sur le graphe Gr(Ci),
– ∀x ∈ X, xi ↦→ Oi(xi, x−i) est quasiconcave sur Ci(x−i),
Alors il existe un équilibre de Nash généralisé.
La démonstration repose sur le théorème de point fixe pour les correspondances ∗ de Kakutani
(Kakutani (1941)) et sur le théorème du maximum de Berge. Nous renvoyons le lecteur
vers Ichiishi (1983), Aubin (1998) ou Ok (2005) pour une démonstration de ce théorème.
Nous analysons maintenant les conséquences de la semicontinuité l.s.c. et u.s.c. de la correspondance
Ci sur les fonctions contraintes. Une propriété de Rockafellar et Wets (1997)
permet d’obtenir facilement la semicontinuité u.s.c. lorsque les fonctions g i sont continues.
Proposition (Rockafellar et Wets (1997)). Soit Ci : X−i ↦→ 2 Xi la correspondance de
contraintes définie précédemment. Si les ensembles Xi sont fermés et que toutes les composantes
g i j sont continues sur Xi × X−i, alors Ci est une u.s.c. sur X−i.
∗. L’existence d’équilibre de Nash sans contrainte repose sur le théorème de Brouwer.
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