Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
Introduction
d’intersection des courbes (x1, R2(x1)) et (R1(x2), x2) pour x1 ∈ X1 et x2 ∈ X2. C’est à dire
un point fixe de l’équation x1 = R1(R2(x1)).
De la même manière que pour les jeux finis, on peut définir des stratégies mixtes pour
les jeux continus. Les actions sont des fonctions de répartition µi et les fonctions objectives
deviennent
Oi(µ1, . . . , µI) = . . . Oi(x1, . . . , xI)dµ1(x1) . . . dµI(xI).
X1
On peut étendre la définition d’un équilibre de Nash aux stratégies mixtes.
XI
Définition. Pour un jeu à I joueurs où Oi, i ∈ E désignent le coût du joueur i, un vecteur
de probabilité (µ ⋆ 1 , . . . , µ⋆ I ) ∈ X est un équilibre de Nash en stratégie mixte si pour tout i ∈ E,
et pour toute fonction de répartion µi sur Xi, on a
Nous donnons ci-dessous le théorème de Glicksberg (1950).
Oi(µ ⋆ i , µ ⋆ −i) ≤ Oi(µi, µ ⋆ −i). (7)
Théorème. Soit un jeu à I joueurs où les espaces de stratégie Xi sont compacts. Si les
fonctions de coût Oi : X ↦→ R sont continues, alors il existe un équilibre de Nash en stratégie
mixte.
Jeux généralisés
Les jeux généralisés proposent une extension des équilibres de Nash suggérée dans l’équation
(5). Pour un jeu à I joueurs, nous introduisons une fonction contrainte rendant les actions
possibles d’un joueur dépendantes non seulement de son action mais aussi des actions
des autres joueurs. Soit g i : X ↦→ R mi la fonction contrainte d’un joueur telle que les actions
possibles du joueur i appartiennent à l’ensemble
{xi ∈ Xi, g i (xi, x−i) ≤ 0}.
L’équilibre de Nash généralisé se définit comme suit.
Définition. Pour un jeu à I joueurs où Oi, i ∈ E désignent le coût du joueur i, un vecteur
de stratégie (x⋆ 1 , . . . , x⋆ I ) ∈ X est un équilibre de Nash généralisé si pour tout i ∈ E, on a
Oi(x ⋆ i , x ⋆ −i) ≤ Oi(xi, x ⋆ −i), pour tout xi ∈ Xi, g i (xi, x−i) ≤ 0. (8)
La différence entre les équations (5) et (8) est le fait que la fonction contrainte dépend des
actions de tous les joueurs et pas seulement de l’action xi du joueur i. Un équilibre de Nash
généralisé x ⋆ vérifie donc I sous-problèmes d’optimisation
min Oi(xi, x
xi∈Xi
⋆ −i) such that g i (xi, x ⋆ −i) ≤ 0, (9)
pour tout i ∈ E. Pour donner des théorèmes d’existence d’équilibres généralisés, nous introduisons
les correspondances.
Une correspondance F : X ↦→ 2Y est une application telle que ∀x ∈ X, F (x) est un sousensemble
de Y . Les correspondances sont parfois notées F : X ↦→ P(Y ) ou encore F : X ⇒ Y .
Pour les correspondances, le domaine de F se définit par dom(F ) = {x ∈ X, F (x) = ∅}, la
portée par rg(F ) =
x F (x), le graphe de F par Gr(F ) = {(x, y) ∈ X × Y, y ∈ F (x)}. Deux
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