Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
Introduction
Le problème d’optimisation ci-dessus admet (au moins) une solution si la fonction xi ↦→
Oi(xi, x⋆ −i ) est quasiconvexe. Une fonction f : R ↦→ R est quasiconvexe si pour tout x, y ∈ R,
et pour tout λ ∈]0, 1[, on a f(λx + (1 − λ)y) ≤ max(f(x), f(y)). Géométriquement parlant,
une fonction univariée quasiconvexe est unimodale, par exemple monotone ou décroissante et
croissante.
On énonce maintenant un premier théorème d’existence.
Théorème (Nikaido et Isoda (1955)). Soit un jeu à I joueurs où les espaces de stratégie Xi
sont non-vides, convexes et compacts. Supposons que les fonctions de coût Oi : X ↦→ R sont
continus. Si les fonctions xi ↦→ Oi(xi, x−i) sont quasiconvexes, alors il existe un équilibre de
Nash (en stratégie pure).
Si on travaille avec des fonctions de gain, alors la quasiconvexité devient la quasiconcavité,
définie par f(λx + (1 − λ)y) ≥ min(f(x), f(y)), pour tout λ ∈]0, 1[.
Le concept de quasiconvexité est plus faible que celui de convexité. En fait, il existe plusieurs
variantes allant de la quasiconvexité à la stricte convexité. Nous rappellons ci-dessous
certains concepts, renvoyons le lecteur vers Diewert et al. (1981) détaillant les neuf sortes de
quasiconvexité. Soit f : R n ↦→ R une fonction. On dit que
– f est quasiconvexe : ∀x, y ∈ R, ∀λ ∈]0, 1[, on a f(λx + (1 − λ)y) ≤ max(f(x), f(y)).
– f est convexe : ∀x, y ∈ R, ∀λ ∈]0, 1[, on a f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y).
– f est strictement convexe : ∀x, y ∈ R, ∀λ ∈]0, 1[, on a f(λx + (1 − λ)y) < λf(x) + (1 −
λ)f(y).
Un concept manquant est la pseudoconvexité, mais qui requiert une fonction au moins différentiable
directionnellement. Pour une fonction C 1 , on a
– f est quasiconvexe : ∀x, y ∈ R, on a f(x) ≥ f(y) ⇒ ∇f(x) T (y − x) ≤ 0.
– f est pseudoconvexe : ∀x, y ∈ R, on a f(x) > f(y) ⇒ ∇f(x) T (y − x) < 0.
– f est convexe : ∀x, y ∈ R, on a f(y) − f(x) ≤ ∇f(x) T (y − x).
– f est strictement convexe : ∀x, y ∈ R, on a f(y) − f(x) < ∇f(x) T (y − x).
Pour une fonction C 2 , on a
– f est quasiconvexe : ∀x ∈ R, ∀d ∈ R n , d T ∇f(x) = 0 ⇒ d T ∇ 2 f(x)d ≥ 0.
– f est pseudoconvexe : ∀x ∈ R, ∀d ∈ R n , d T ∇f(x) = 0 ⇒ d T ∇ 2 f(x)d > 0.
– f est convexe : ∀x ∈ R, ∀d ∈ R n , d T ∇ 2 f(x)d ≥ 0, c’est à dire ∇ 2 f semidéfinie positive.
– f est strictement convexe : ∀x ∈ R, ∀d ∈ R n , d T ∇ 2 f(x)d > 0, c’est à dire ∇ 2 f définie
positive.
Toutes les définitions sont incrémentales, ainsi la stricte convexité implique la convexité, impliquant
la pseudoconvexité, impliquant la quasiconvexité. Par conséquent, on constate que le
théorème d’existence d’équilibre de Nash de Nikaido et Isoda (1955) requiert une des conditions
les plus faibles de convexité sur la fonction xi ↦→ Oi(xi, x−i).
Pour avoir l’unicité de l’équilibre de Nash, il faut cependant requérir beaucoup plus que
la quasiconvexité. Le théorème 2 de Rosen (1965) donne un résultat d’unicité dans un cadre
légèrement plus général que l’équation (4). Il considère le problème suivant
min Oi(xi, x
xi∈Xi
⋆ −i) tel que g i (xi) ≤ 0, (5)
où gi : xi ↦→ g i (xi) est la fonction contrainte du joueur i supposée continue. L’ensemble de
stratégies possibles se réduit donc à l’ensemble Xi = {xi ∈ Xi, g i (xi) ≤ 0}.
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